D'BB' = D'DB'I

Ainsi, le demi-arceau D'B'I' est égal aux trois (jiiarts du rectangle D'DB'I', qui a pour côtés. 2 a et Tza, et dont la surface est égale a 2 7r fl- : donc

- arceau = - tz a- ,

ce qui fait voir que la surface d'un arceau de la cycloide est trois fois celle du cercle générateur.

Quant à l'équation de la cycloide, soit MGE = w, l'arc ME qui est égal à la droite OE = c/w, et soient MR = j, OR = r , on

rnEORiE nES courbes i'I.\m:s troiivi' lacilcMnont

X = a (w — sin w) et ) =: rt (i — d'où l'on tire

arc ces i

^/a nj — .

?s^oiis indiquerons encore deux propriélcs nircaniqucs de la cydoïde.

Cette courbe, en la supposant renversée de manière que le somuiet B soit au bas du diamètre su]>posé vertical, est la brnc/iistoc/(/-D«r, c'est-à-dire qu'un mobile pesant doit suivre une cydoïde pour descendre d'un point à un autre dans le plus court espace de temps.

Celte courbe est encore tautnchrone ; ainsi , cpiel que soit le point de la cycloule où l'on place un mobile pesant, il mettra le même temps pour descendre au sommet inférieur. Huyghens avait cherché à utiliser cette propriété pour régulariser le mouvement des pendules dans les horloges.

II. On peut imaginer qu'un point intérieur ou extérieur au cercle roulant , et attaché fixement à son centre, tourne en même temps que ce centre; alors il engendre une cydnïdc raccourcie , ou bien une cydoïde allongée.

Les Jîg. 66 et 67 indiquent suffisamment la forme de ces Fig. 66.

3l6 CHAPITRE SEPTIÈME

courbes, ainsi que la manière de les construire par |)oints, et même de trouver la tani^ente par le centre instantané de rotation.