I TT

— = -. = G, OOO OOO 07854?

AE = a- . 0,000 00007854 (*)•

Soit, par exemple, AB = 1 kilomètre; on obtient à peu prcrs

AE = o'",078.

La petitesse de cette quantité fait comprendre comment on peut voir des nuages bien plus cloii^nés qu'on ne le pense d'ordinaire ; mais il est impossible d'en préciser les distances à cause de leur élévation très-variable.

6. Cette question nous engage ;i rappeler un problème qui se présente souvent dans les calculs et qui consiste à irouvcr la valeur (l'un arc en degrés quand on donne la longueur de cet arc

(*) A proj)Os de rcvaluation du coedicient de «', nous leions observer que le mot fc(7//on luit conrusiou dans la numération parlée, parce qu'en français il veut dite di\ l'ois ceiil millions, et en an^jlais cent lois cent millions,

sur une circonférence de rayon connu, ou, réciproquement, corinaissant la valeur d'un angle en degrés, trouver la longueur de tare qui lui correspond sur une circonférence de rayon donné.

Ce problème se résout par une simple proportion.

Supposons, par exemple, que l'on demande le nombre de degrés de l'arc représenté en grandeur par le nombre 1 7, le rayon étant i .

Nous remarquerons que la circonférence entière, composée do 36o degrés , a pour longueur a rr , ce qui donne

ce qui donne

ût>0 X 77

ou bien deux circonférences et demie, plus ^4" ' 43"- S'il s'agissait d'un cercle de rayon quelconque R, on aurait évidemment

27rR 17

7. Nous considérerons encore l'expression y/ i + s qu'il est difficile de calculer sous cette forme. Observons que, si £ est une quantité trèsjpetite, y^i + e diffère peu de l'unité et que l'on peut poser

X étant aussi une quantité très-pelite.

En élevant au carré, on trouve

I H- £ = T -f- 2 jr 4- X-.

Développant et négligeant x-, il reste

j: = - et <Ji-\-îz=i-\

{*) On a calculé quatre décimales, parce que, ilaus la valeur de -•> l'erreur n'est que du huitième ordre de décimales.

NOTKI.NS GtAlUALJ.S.

l'j» tliaii!^<aiil le signe ilc £, on aura On lamèncra à l'une de ces den\ formes l'expression

V^idzE

soit en iiuiltiplianl liant et bas par \/ii£, car il est nliie, en général, de faire disparaître les radicaux du dénominateur, soit en posant, d'apiès ce qu'on vient de voir,

eomme on l'a déjà démontie.

Si le radical se présente sous la forme v^« -f- a , on reniartpiei a «pi'ii est égal à

De même

2 \a Supposons, par exemple, cpi'on clierchc h- cosinus de Tare dont le sinus est éyal à La formule ordinaire donne

ICO

cos X z= \j i — sin- X ;

mais on peut éviter cette pénible extraction de racine carrée « n posant

sin .r . . sin-^ i cosx = i t et ICI = 1

2 2 2uOOO

ce (|ui rend le calcul lieaucoup j)lus facile.

8. On voit (pic toutes ces simplifications sont fondées sur ce fait dont nous avons déjà parlé, qu'une fonction se développe suivant les puissances ascendantes de la variable. Cela conduit à la méthode des cocfficicnls indétermincs , qui consiste, étant donnée

une fonction / =ry(x), ù poser

r = A-h'Bx-\- Cx- 4- Dx' + . . .,

eX à déterminer, d'aj)rès la nature de la question , les coefficients A, B, C, D, elc.

Les séries de Taylor et de Maclaurin établissent, en général , la forme de ces coefficients d'après celle do la fonction donnée, mais, sans y avoir recours, il est souvent facile de déterminer directement ces coefficients. Ainsi nous pouvons retrouver, par cette méthode , les formules approximatives que nous avons dfijà obtenues.

Posons

= A + B £ H- Cr -h D £'• 4-

ce qui donne

Faisant passer dans le second membre et observant que, xi tint- /"onction d'une variable est nulle pour toutes les valeurs de cette variable, les coefficients de toutes les puissances seront nuls sépalément , on posera les égalités

ce qui donnera

et enfin

comme on l'avait déjà trouvé par la division.

Ce développement convient à une valeur quelconque de s,, mais si z est très-petit, on retrouve la formule connue

jrOTlONS GhNKRALKS.

Revenons tMicore à l'expiossion

v/7+l = A-f- Bs-f- Cc'^H-Dr'+ E s' + • . On trouve, en élevant au carré , i-j-î = A-+2AB

E^-f-2BC