H- 2 AE + 2 BD

D'où l'on tire les équations

A= — i=o, 2AB— i=o, B- + 4AC^o, 2BC4-2AD = o, C--I-2 AEh- 2BD = o, etc.,

ce qui donne, en prenant la valeur positive du radical,

A=:l, B = -, C =: — ô' 1j = —pi C = 5?

2 O lO 120

et enfin

Cela ne suffît pas pour reconnaître la loi que suivent les coefficients; mais si s est très-petit, on retrouve la relation

On y serait arrivé directement en posant simplement

Nous allons encore montrer la fécondité de cette méthode en cherchant les développements du sinus et du cosinus, dont nous avons déjà fait usage ; mais nous devons prévenir que ce procédé, remarquable pour sa simplicité, est insuffisant comme démonstration rigoureuse.

Soit

sin.r = A H- Bi -4- C.v' + Y) x' + E.r> + F.r^ -+-. . .;. il vient, en différentiant,

cos X = B + 2 C X 4- 3 Do.- 4- 4 1*^ * " + 5 F X* -f- . . . j^

10 CHAPITRE l'KF.MIKR.

Cl ililTcrcntiani une seconde fois,

— sin j: = 2C 4- 2.3D.r -f 3-4 K.^-' 4-4-5 F^' M-. • • .

Les deux développements du sinus devant être identiques, on ;i les égalités

A = — 2C, B= — 2.3D, G=— 4.5E, D = — 4.5F.... Or, si

.r z= O , sin J,' =1 o ,

donc aussi

A=0, si .'• =r o, cos-r^i, donc

d'où l'on tire

et l'on a les séries

sin .r rr .v —

ces .7- r= I — 4

9. Nous avons dit que cette méthode, si,procieuse dans une foule de recherches, n'est pas d'une exactitude absolue : en elfe! , il n'est pas tout à fait évident qu'une fonction quelconque puisse se développer suivant les puissances de la variable dont elle dépend, et il y a même certaines fondions parliciilières pour lesquelles ce développement est impossible. Telle est la fonction

y — ioj; X ; car .r =: o donne

jr = — ce,

et l'on est oblige d'éluder la difficulté en développant log [x 4-i). Mais nous devons surtout, au point de vue des calculs pratiques, nous préoccuper d'une autre espèce de difficulté qui se présente bien plus souvent et qui consiste dans la divergence des séries. Quand les termes vont en croissant, il est évidemment impossible que leur somme converge vers une quantité finie ; c'est

^o^lo^■s GKNtRAi.Kà. i i

ce ijui anivc, par cxenijile, dans les progressions géométriques dont la raison est plus grande que riuiilé. Mais (piand niènie les termes vont en diminuant, de manière que le terme de rang n devienne infiniment petit pour n = zo , cette condition ne suffit j>as toujours pour établir la convergence.

Une série dont tous les termes sont de nicnie signe est convergente quand le rapport d'un terme au terme rjui le précède tend iH'rs une limite plus petite que l'unité.

En effet, soit / une quantité plus grande que le rapport d'un ternie quelconque à celui qui le précède, on peut néanmoins supposer /■ «<^ I . Or la somme des termes, depuis le premier jusqu'au «-H i'^"^ étant

S = «0 + "i + "- -H • . • + w,i-i -H "ft ) on auia la suite d'inégalités

«3 <C ih f> ,

Multipliant ces inégalités, il reste

et comme ^ <^i, on sait que k" devient plus petit que toute grandeur donnée quand n augmente indéfiniment. Il en sera donc de même pour u„. Cela tient à ce que les puissances d'une quantité plus grande que l'unité croissent indéfiniment. En effet,

( I -4- a )■' = ( I + a) ( I + a ) >> I + 2 a , (l -ha)-^>(l -f- 2a) (i + a}>H- 3a; et ainsi de suite. Donc

qui pe.ut croître indéfiniment pour une valeur suffisante de//. Pav conséquent, K" = ; décroît indéfiniment,

On aura ensuite, en ajoutant,

S — «0 < ^ ( S — «n ) ; d'où

S(i — A] <^ «„ — /(•«„ et S <^ — ^•

Mais, comme nous venons de le voir, «„ devient infmimeiit [letil à mesure que n augmente, et i! reste

On voit que ce raisonnement ne pourrait s'appliquer si X était «^gâl à l'unité.

Du reste, il faut bien observer que celte valeur S, quand elle est

finie pour / <] i , donne bien une quantité — ^— supérieure à

la somme indéfinie des termes de la série, ce' qui prouve que cette série est convergente; mais il ne faudrait pas croire que cette valeur j fût la limite vers laquelle converge cette suite de termes. C'est pourtant ce qui a lieu pour les progressions géométriques dont la raison est plus petite que l'unité, X- étant cette raison ; mais il n'en est pas toujours ainsi, puisque, du reste, /c n'est point complètement déterminé.

Nous devons donc conclure que la série est divergente si X: ^ i , puisque les termes vont en augmentant et qu'elle est convergente si A <^ I ; mais si /• = i , on reste dans l'indécision, et, en effet, les séries de cette nature sont tantôt divergentes, tantôt convergentes.

Ainsi la série

quoique ses termes aillent constamment en diminuant, est divergente, c'est-à-dire que la somme de ses termes n'a point de limite finie. Mais la série

i)-Gy-ay-ay

NOTIONS r.KNVRALES. 1^

dans laiiiu'lle on a aussi /: = i , convertie vers nno limite (inie (*).

10. ?S()us avons considéré des séries dont tous les termes étaient de même signe; souvent aussi les termes sont alternativement positifs et négatifs, et d'ordinaire le calcul de Tapproximation en devient plus facile. Tels sont les développements du sinus et du cosinus en foi'.ction de l'arc.

Quand une scric est composée de termes constamment décroissants et alternativement positifs et nèi^ntifs, cette série est convergente ; l'erreur est inférieure au premier tcimc que l'an néglige et (le même signe que ce ternie.

En effet, considérons la suite de termes

a — b -\- c — d -If- e — /h- g — Ii -\- . . . .

En s'arrètant après trois termes, on peut poser la série sons la forme

c'est-à-dire que les termes conservés a — b -{- c seront suivis d'une quantité négative, car toutes les quantités négligées — [d — e], — {f — g'),. . . sont effectivement négatives, puisque les termes vont toujours en diminuant. Ainsi la valeur a — b -+- c sera approciiée en excès.

Prenons maintenant un terme de plus, la série deviendra

a —b -hc— d-[-{e —f) ^{g — /i)+...;

et ici les (juantités négligées e — f, g — //,.. seront évidemn)ent positives. Donc la valeur a — b -\- c — d sera approchée par défaut. Or la différence de ces deux sommes est — d; on voit donc que, dans la première circonstance, l'erreur était numéri- <piement infcric lire à d, niais i\y\ même signe (]ue — d , c'est-à-dire négative.

(*) On démontre aussi la ct-ndition de convergence y' «^ < i.

l4 CHAPITRE DEUXIÈME.