I -f- tang
TTl " —
(ang - - I
On aura de même
, cosa
tang I
ut — \\)\. ce
tang - + I
Ensuite, ajoutons les deux expressions (9) et (10); nous aurons, à cause de
sin (9 — ») = — cosa et de sin(ô — 2 a) = — i,
la relation
[c— a) ^ ' sin 9
Les expressions (1 i) et (12) donneront de même
^ ' sm9
336 CHAPITRE SKPTIKMF..
3". Enfin , si l'on a à la fois
n := c et b ^= [a -\- c) cos ô,
ce qui devient alors
b =: la cos 9,
la direction des axes est réellement indéterminée, parce que la courbe est une circonférence. En effet, l'équation (2) se réduit alors à
y' -\- 7.xy cos Q -t- ^- = — ,
et reoresente un cercle réel ou unaginaire, suivant que — est
positif ou négatif; le rayon est
V. Coordonnées rectangulaires. — Si maintenant les coordonnées primitives sont rectangulaires, il suffit de poser dans toutes les formules précédentes
Alors l'équation (6) devient
(in) tang 2a =
Nous avons ensuite, à cause de !a formule connue
tang a = — cot 2 a ± \/ 1 + cot^ 2 a ,
et en remarquant que m = tanga est positif, puisque l'angle a est
aigu ,
m = y I + cot^ 2 a — cot- a ,
ce qui donne
(18) m=sj'^'
On aura de même
Pour obtenir A, ajoutons les équations (9) et (10); nous avons,
IHÉORIK DES COUBBKS PLANF.S. SS^
à cause de 0 = 90",
«os 2 a
Mais l'équation (1
) donne
cos 2 a 510 2 a
on a donr
sin 2 a
Les équations (i 1) et (12) font trouver de même
sin 2 a Enfin, l'égalité
-; = v/i + cot' 2 a,
sm 2 a
où sin 2 a ^ 0 puisque a <^ 9o°,donnera .
22) i\z=za + c -h h \^/ i-\-
et
(23) iV = -a-\-c—b\J y—^] -^i'
Le cas particulier où c = « donne ici
m =: \ , ni' := — i ; d'ailleurs l'égalité (17 ) montre que
« = 45°, c'est-à-dire que les nouveaux axes sont les bissectrices des anciens.
Comme alors
sin 2 a = 1,
les expressions (20) et (21) deviennent
2 A =r 2 a -H ^ et -2).' = 0. a — h ,
comme on pourrait aussi le conclure des équations (i3) et (i4).
Le second cas particulier que nous avons considéré revient à h = o pour 0 :^ qo° ;
mais alors ii n'y a pas de calcul à faire, car les axes donnés sonl jiistenient ceiiN (pic l'on cherche, pniscpic Téqualion
rtj'-}-r.r'= H,
relative à des axes rectangulaires, présente la forme que l'on veut obtenir : d'ailleurs il reste alors, d'après les équations (i5) et (i6),
VI. Paraboles. — Supposons maintenant que la courbe représentée par l'équation (i) n'ait pas décentre, ce qui arrive quand
/>' — ^ac z:^ o.
L'angle des coordonnées primitives étant quelconque et égal à 0, cherchons des cordonnées rectangulaires pour lesquelles l'équation de cette courbe soit de la forme
(24) Y'=:4FX.
Mais il faut ici changer l'origine des coordonnées et poser
X sin a + Y cosa
sin G
' * ■* L'fqualion cherchée
devient ici
c'est-à-dire qu'on a changé x en Y et^ en X. Celte permutation, qui est évidemment inutile dans ce cas particulier, tient à ce que l'on a fait usage des formules (i5) et (i6) qui supposent, comme on l'a dit en commençant, 0 <; 90°, ce qui a donné, dans cette circonstance ,
sin (ô — 2 y.) = — I .
Ici, en effet, la relation
0 — 'i a = — 90" donne
