X -I x~j H X -\-~i-— sinaH sm 9 — a
2 rt 2 c/ smO ( 2rt J
H : — - eos a — — - cos (0 — al •
sinO L 2« ' J
On voit que le coefficient de X est nul : celui de Y revient à
cos a sin ( 9 — <y.) -+- sin a cos (9 — a ) i
sin 9 sin ( Ô — a ) sin ( 9 — a ) '
il reste df)nc
2 « " 2 « sin (9 — a )
Observant ensuite que
la 1 o. a a
puisque la nouvelle origine est un point de la courbe, l'équation ( 25) deviendra, après sa transformation ,
\ 'la
sin (9 — a) sin'' 9 (9— a j
■-. — f - SHi aH sin 9 — a) -h -: — -cosa cos 9 — ai =;o.
sin9|« a 'J sinôLrt a J
( * ) De là on tire
cos 0 ~
cot K =^ :
biUi/
cette formule est plus simple, pour déterminer a, que la relation (fi),
laquelle, du reste, est toujours vraie en remplaçant c par y— ; car on
pourrait faire évanouir le rectangle xy en opérant direetement sur l'équation (i), et les termes du premier degré n'auraient aucune iniluence sur le résultat
TllÉOIUi: DIS (OlUUIvS 1>I ANns. 3^1
].v cornifuiil (If Y (k'vaiil r-trc mil, im ;i
y -\ X - c'os X — - cos (0 — a )
sin(e— a) sinO
ou bitn
, h , sin(0 — a)[t'cos(0 — a) — c/cosa]
2 rt 2 <7 sin 0
on {'oiiiiaîtia clone , dans r<'(j(ialion ( 26), la \ alfiir do riiulckrmiiifc B par la relation
__ sin (0 — al \r cos ( Q — a) — r/ oosif ] 2« sin'y
Le nuincrateiir de t'etl« expression peut s écrire ainsi
sin 2(0 — a} — d cosa sin ( 0 ~ a}.
Mais nous avons
. , 2rt .
sin( 0 — ^J ^ p-sina,
et ce numérateur devient
ad . Résina (9 — a) H- 2 oc/ sin 2 a
sm 2 t y — a j -t-
-sin 2(0 — ol) -\ — T- sin 2 se r--
donc enfin
/;€" sin 2(0 — a) -+- 2 «r/ sin 2 a
ÎVous pouvons dor.c- regarder B comme une quantité connue, et par conséquent nous aurons, pour déterminer les coordonnées x' etj'dela nouvelle origine, deux équations, dont l'une ne sera autre chose (pie l'écpiation (26) dans laquelle on aura accentué les variables, ce qui l'identifie avec l'équation (27), et dont l'autre s'obtiendra on remplaçant dans l'équation (25), également accen-
tnèe, le carre [y' ~\ j par sa valeur B', ce ([iii donnera
342 CHAPITUE SKPTIÈME
L'éliminalion entre les eqiiafioiis ( 26) et (28) donnera donc les valeurs de .r' et de } ' qui seront
(29) et
, 2aB(rtBH-r/)4-2£// bd — 2 ne
, — rtB (ÂB + 2e) — 4/^ hd — "zae
, Dans l'équation ( 24 ) , le coefficient de X sera , d'après le même développement,
4F = ^T-- '\ -sinaH--sin Ô — a
sin0 [« a ^ '
Mais
(c qui donne
ou encore
sin a =r sin (& — a),
la
sinM.6-a)/ bd\
rtsinO ^ laj
na? sinO Ces formules suffisent dans le cas général ; mais, si 0 = go", il fauï
(*) Si i = 0, l'égalité
tioiine
sin (6 — a) 2a
et l'expression (27) reste indéterminée; mais la valeur précédente défi devient alors
e cos ^ — d
l.'éqnation (3o) nous donne
r' = B; de même les équations (29) et (3i) montrent que
\'i, ( aY> -\- d) -^- f'\ ^. esin-6
x' ^z^ — ■- — ï^ ^— ^ et (luc .'i? =
TliÉoniF. 1»ES KUUHliKS PLANES. 343
j)i)ii\uir faire les laltuls saii^ le soiouii» i!rs loyaiillimc^. Alors
2(0 — a)= 180 — 2ix; tlonc la forauile (27 ) dovifiit
sin2 a. (he -\- 2 ati)
^= ITTb '
cl cl ailleurs
^' taiig y. — — -.
Mais sin la. ebl toiijouis tlii même signe (jiie tanga, car
sin 2 a
=r 2 tang a ;
par conse(iiiciU
sin 2 a = — , — j — 5
et l'on obtient
(ôe-l- lad)
On substituera encore cette valeur dans les cxpnssioiis (2g) et (3o) Quant au coefficient 4 1" > il se réduira à
cos' a(bei — 2 «e )
Or
et
Sa
cos' a
6= V^i»' + 4 rt'
ce qui donne
^a (bd — 2ac) b^'-h/^a-) s/b--h4~"'
Mais ici le radical a deux signes, et j)nur choisir celui qui convient, il faut se rappeler (jue le cosinus est toujours du uiè'ine signe
