CHAPITRE HUITIÈME. APPROXIMATIONS NUMERIQUES

110. Le sujet qui va nous occuper est traité dans la plupart des Arithmétiques modernes; mais souvent les auteurs de ces ouvrages se proposent de mettre les candidats à l'abri des difficultés d'un examen plutôt que de faciliter réellement les calculs, et nous croyons qu'il est possible, sans négliger la théorie, d'exposer ces questions d'une manière quelquefois plus simple.

I. Nous commencerons par rappeler un principe bien connu , mais d'une telle importance, qu'il ne faut jamais le perdre de vue. Quand on connaît un nombre avec plusieurs décimales, dont on veut seulement conserver quelques-unes, il faut avoir égard à celles que l'on efface pour savoir si l'on doit augmenter d'une unité le dernier chiffre conservé ou bien le laisser tel qu'il est.

Supposons, par exemple , qu'on demande n avec (juatre décimales. On sait que

mais, si l'on efface les chiffres 926535897932 . . ., la quantité que Ton supprime étant plus grande que o,oooo5, c'est-à-dire .yw/jelicure à la moitié de f espèce (f unités (jiie V on conserve , on fera une erreur moins grande en forçant le chiffre des dix-millièmes qu'en le laissant tel qu'il est; donc il faut poser

Au contraire, si l'on veut garder huit décimales et effacer les chiffres 35897932. . . , la portion sui)p)imée étant plus petite que o,oooooooo5, c'est-à-dire inférieure à la moitié de r espèce d'unités que l'on conserve, on fera une erreur moins grande en laissant tel qu'il est le dernier chiffre conservé que si l'on augmentait ce

346 CHAPITRE Hl]lTlJi.MK.

chiffre dune imite; il laul donc écrire

On pourrait être dans le doute si le premier cbilfre effacé était un 5, mais comme il est généralement suivi de quelques autres cliiffres, la partie supprimée est plus grande que la moitié de l'unité que l'on conserve, ce qui permet de poser la règle suivante :

Quand le premier chiffre supprimé est in/éricnr a 5, il faut laisser tel quil est le dernier chiure conservé.

Quand le premier chiffre supprimé est égal ou supérieur à 5, // faut forcer le dernier chiffre conservé, c est-à-dire V augmenter d'une unité.

IL Voici encore un principe que l'on doit observer dans toutes les approxinialions.

Pour compter sur le dernier chiffre, il faut en calculer un de plus , qui servira à voir, d'après la règle précédente, s'il faut augmenter ou non le dernier chiffre ; ensuite on effacera ce chiffre supplémentaire qui peut ne pas être exact, parce qu'il dépend luimême de ceux qui devaient le suivre (*).

III. Lorsqu'on donne une, deux, trois... décimales d'un nombre, on dit que ce nombre est approché à un dixième, un centième, un millième près, ce qui signifie que l'erreur est moindre qu'un centième, qu'un dixième ou qu'un millième. Ainsi, dans le nombre 24,3526 dont on ne connaît que fjualre décimales, l'er

- reur peut être représentée par 0,0001 , c'est-à-dire par une unité de V ordre du dernier cJiiffrc.

IV. Mais on peut encore indiquer l'erreur d'une autre manière aussi exacte, et plus avantageuse parce qu'elle en donne

(*) Quel que soit ce chiffre supplémentaire, si on le néglige, le nombre est trop petit, mais devient trop grand si , au contraire , on augmente d'une unité le dernier chiffre conservé. Par conséquent, pour renfennpr un nombre entre deux limites différant d'une unité d'un certain ordre, on calculera le chiffre de cet ordre, ce qui donnera la limile inférieure; ensuite on y ajoutera une unité pour obtenir la limite supérieure. Mais l'on n'emploie dans les calculs que la plus approchée de ces deux limites.

une évalualiim nioitii- moindre. Puisque o./î , 'i5'?.(^ est l.i v.iNiir approchée (en plus ou en moins, peu importe) du nombre «pie l'on considère, et cpie le dernier chiffre 6 est celui des dix-millic'mes, après qu'on l'a forcé, si cela a clr nécessaire, on conçoit, d'après ce qui précède, que la partie néglij^éc est inférieure à la moitié d'un dix- millième , et qu'on peut l'indiquer par o,oooo5. De là on conclut que Vrrrcur est encore représenter pnr une deniiunitv de l'ordre du dernier chiffre.

V. Pour montre)" si une quantité approximative est en excès ou en défaut, A'oici un usage qui commence à se répandre. On indique par un point placé sur la dernière décimale à droite que la valeur du nombre est trop forte d'une quantité moindre que la moitié de celte dernière unité décimale ; cela étant admis, l'absence du point indique que la valeur du nombre est trop faible d'une quantité moindre que cette demi-unité. D'après cela, les deux valeu.'S de t. que nous avons données précédemment pourront s'écrire de la manière suivante :

3,i4i6 et 3,14159265.

VI. D'un côté , il faut chercher toujours à rendre l'erreur aussi petite que possible; mais de l'autre côté on ne doit jamais compter sur une approximation plus grande que cela n'est permis : aussi quand plusieurs quantités font partie de V erreur, la plus grande de ces quantités doit être prise pour mesure de V erreur quant a V ordre des unités.

En général , quand on doute entre deux évaluations de l'erreur, il faut se mettre dans le cas le plus défavorable , c'est-à-dire prendre la plus grande.

CONVERSION DES ERREURS RELATIVES EN ERREURS ABSOLUES , ET RÉCIPROQUEAIENT.

111. I. On peut demander une longueur à un décimètre, à un centimètre, à un millimètre près; c'est ce qu'on appelle une approximation absolue. On peut la demander, au contraire, à un dixième, à un centième, à un millième près de «a valeur; c'est alors une approximation relative.

348 CHAFITRK HLlTIEilt.

L'approximation relative est souvent la i)lus inij)()rtanle, parce que la même approximation absolue serait (pieUpiefois trop minutieuse et quelquefois insuffisante, suivant la nature des quantités. Par exemple, ce serait trop exiger que de demander une précision d'un millimètre dans les dimensions d'un édifice, mais celte précision même serait très-insuffisante dans l'évaluation du diamètre d'un tube thermométrique.

Cette distinction s'applique évidemment à toute espèce de quantités autres que des longueurs.

II. Outre cela , il est bon que l'unité choisie soit en rappoit convenable avec les grandeurs que l'on mesure. Si l'unité était trop petite relativement à une quantité, cette quantité aurait dans son expression un trop grand nombre de chiffres entiers : si , au contraire, l'unité était trop grande, cette quantité aurait trop de zéros avant ses chiffres significatifs. Ainsi, il vaudra mieux exprimer le diamètre de la terre en kilomètres qu'en mètres.

III. L'arithmétique parvient à donner, comme nous le verrons bientôt, une approximation absolue en fractions décimales de l'unité que l'on a choisie ; voici donc en quoi consiste le problème que nous devons nous poser maintenant :

On demande qu'une quantité soit obtenue avec une certaine (tpproxiniation relative ; quelle sera l'approximation absolue correspondante ?

Pour résoudre ce problème , ainsi que tous les problèmes d'approximation, rappelons-nous ce principe évident :

Quand on cherche la valeur approchée d'une quantité, il faut toujours admettre que l'on connaisse la nature de ses plus liantes unités.

D'après cela, si l'on demande d'obtenir, à un dix-millième près de sa valeur, un nombre compris entre lo et loo, avec quelle approximation absolue faut-il le calculer?

L'erreur sera comprise entre le dix-millième de lo et celui

de loo, c est-a-du'C entre et , ou l)icn entre

APl'l\OXIM,\TIONS NUMKRIQI'KS 340

vt ; mais, pour mw cette erreur soit la i)liis iiciiic nossihlc ,

lOO III'

nous cherilierons rapproxiination absolue :! un niillième près.

Le raisonneuient serait le même si la (pi.inlité que l'on ronsidère était plus petite que l'unité. Par exemple, si elle est comprise entre o, i et o,oi, en exigeant toujours que rapproximation relative soit obtenue à un dix-millième près, l'erreur sera com-

o, I o,oi ... . ,

l^rise entre et > Ainsi , pour fine cette erreur soit I.i

I oooo lOOOO