MULTIPLICATION

1!3. I. Quand on multiplie deux nombres décimaux par la niéthode ordinaire, les dernières décimales, celles qui ne doivent pas être conservées dans les calculs d'approximation , parce qu'elles sont inuiiks ou inexactes, sont celles qu on obtient les premières; on est donc forcé ain.ii d'écrire j)lusieurs chiffres qui ne servent à rien. Voici la règle due à Ouglitred pour faire la

multiplication sans écrire au produit plus de cliijfres qu'on n'en veut calculer.

Cette règle est connue sous le nom de multiplication abrégée.

Si nous cherchons à 0,000 1 près le produit des deux nombres 763 ,o54o3678()56 et 25,44^30578, pour éviter le calcul du produit exact, qui serait i ()4 16, 9063468085 1 327 1 6588 , observons d'abord qu'il faut calculer les cent-millièmes, afin d'avoir les dix-millièmes.

Ensuite, écn\>ez le chiffre des unités du multiplicateur sous celui des cJiiJfres du multiplicande (jue l'on veut calculer le dernier au produit , et renversez à droite et à gauche les chiffres du multiplicateur. Dans le produit correspondant à chaque chiffre du multiplicateur, négligez les chiffres du multiplicande restés à droite, parce qu'ils donneraient des unités d'un ordre inférieur.

Voici comment on dispose le calcul :

Do cette façon, chaque chiffre du multiplicande donnera des cent-millièmes avec le chiffre qui lui est verticalement inférieur dans le multiplicateur: voilà pourquoi, dans le produit correspondant à chaque chiffre du multiplicateur, on doit négliger les chiffres du multiplicande laissés à droite, puisqu'ils donneraient des millionièmes et des quantités plus petites.

Cependant il faudra conserver les retenues que chaque chiffre

pourra donner avec la partie négiigcc du multiplicande , cai' les retenues des millionièmes sont, des cent-inilliènies. Il faut memr forcer le chiffre de cette retenue , s'il est suivi d'un 5 ou d'un chiffre plus considérable .

Par exemple, si nous considérons le |>ren)ier chiffre y. du midtiplicateur, nous verrons facilement qu'il donne le chiffre i pour retenue avec la partie négligée 7895(> du nuilti[)licande, mais que ce chiffre serait suivi d'un autre au moins égal à 5 ; on doit donc prendre 2 pour retenue et l'ajouter au produit de 6 par 2, ce qui fait \f\. On opère toujours de même; mais il suffit d'ordinaire de considérer le premier des chiffres négligés au multiplicande pour avoir ces retenues, que l'on appelle retenues supplémentaires.

Enfin, le chiffre 8 du multiplicateur donne lui-même un produit, quoiqu'il n'ait pas de chiffre au-dessus de lui dans le multiplicande , mais sa retenue supplémentaire, qui est 6, doit figurer au produit; seulement, s'il y avait des chiffres à la gauche de 8 dans le multiplicateur renversé , on les négligerait complètement.

Le produit approche est donc 19416,90634, ou plutôt, en supprimant le dernier chiffre dont on n'est pas sûr, on trouve 19416,9063, avec l'approximation demandée, qui est 0,0001.

II. Il peut arriver que le multiplicateur n'ait pas de chiffres entiers; alors on remplace par un zéro le chiffre des unités, pour garder sa place.

La règle énoncée ci-dessus peut encore s'expiimer ainsi : Mettez les plus hautes unités de l'un des facteurs cri ligne verticale avec celui des chiffres de l'autre facteur qui, multiplié par ces unités, donne le chiffre de l'ordre qu'on veut calculer, puis renversez les chiffres du multiplicateur à droite et à gauche.

Il est clair que, si la condition pour Tordre du dernier chiffre du pi'oduit est remplie quand on considère, par exemple, les plus hautes unités du mulli|)lieande comparées au chiffre correspondant du multiplicateur, elle sera également remplie si l'on considère les plus hautes unités du multiplicateur comjjarées au chiffre correspondant du multiplicande. On conclut de là que l'on ne change rien à l'approximalion du produit en interverlissant l'ordre

354 OHAPITRK HUITIiÈME.

des facteurs, pourvu qu'on cherche toujours à calculer le même ordre de décimales. On pourra néanmoins trouver quelque différence dans le dernier chiffre, qui dépend de la manière dont se disposent les retenues supplémentaires, et qui , du reste, doit être effacé comme incertain, sauf à forcer, s'il y a lieu, le dernier chiffre conservé.

Voici comment on peut vérifier le produit déjà oblenu, en intervertissant l'ordre des facteurs et suivant toujours la même règlo.

Ce nouveau produit ne diffère du précédent que par le dernier chiffre, qui est un 5, au lieu d'un 4-

III. Ce dernier chiffre, que l'on calcule pour l'effacer ensuite, peut quelquefois être exact, mais souvent aussi il est trop grand ou trop petit quand les erreurs des produits partiels sont de même sens et s'ajoutent par conséquent. Après avoir forcé plusieurs retenues supplémentaires, on néglige quelquefois d'en forcer d'autres, pour ne pas avoir trop de nombres en excès.

Du reste, l'erreur de chaque produit partiel étant plus petite que o,ooooo5 (dans l'exemple précédent), il faudrait qu'elle fût multipliée par un nombre plus grand que 20, pour égaler 0,0001 et atteindre, par conséquent, le chiffre des dix-millièmes que l'on veut conserver.

On obtient donc le résultat suivant, analogue à celui que nous avons trouve pour l'addition :

VPPROXIMATIONS NUMÉRIQUES. S'ÏS

S'i{ n 'y (I i>(is /j/its fie vingt produits partie/s, il suffit dv calculer un chiffre de plus qu'on n'en vent ron^m'cr; sinon il rn Hinrlrnil deux de plus.

On voit d'ailleurs que le nombre des produits p.irlicls peut être inférieur à celui des chiffres du multiplicateur. C'est ce qui a lieu dans la dernière opération (II), où les chiffres 65g8, placés à la gauche du multiplicateur renversé, ne servent à rien dans le produit (*).

IV. Nous rappellerons encore que le procède de la multiplication abrégée n'empêche nullement l'usage de la simplification employée dans les calculs où l'on a beaucoup de nombres à multiplier successivement par un même facteur, et qui consiste à former d'avance le produit de ce multiplicande constant par les neuf chiffres : il suffira de prendre pour chaque chiffre multiplicateur la partie seule qui lui correspond d'après son rang, sauf à tenir compte du reste du produit pour la retenue supplémentaire. C'est ce que nous avons fait (48) en calculant les Tables de logarithmes; le multiplicande constant était le module.

V. On comprend que les facteurs donnés ne permettent pas toujours de trouver le produit avec toute l'approximation que l'on pourrait désirer. Il faut donc chercher à déduire du procédé même delà multiplication abrégée Tapproximation dont le produit est susceptible.

Nous commencerons par indiquer les signes auxquels on reconnaît qu'il est impossible d'obtenir toute l'approximation demandée.

Supposons qu'on veuille calculer les centièmes dans le produit de 345,6738 par 3754,8?.. D'après la règle d'Oughlred , il faudra érrin^ Ip-^ nf)rnbif<; df la manière suivante ;

(*) Le produit de deux facteurs est gtnéralement plus approche quand les erreurs de chacun d'eux sont de sens opposé, car elles Piter<"ent alors des influences contraires sur la f^randeur du produit.

356 CHAPITRE HlIITItalK.

Mais l'opération étant ainsi préparée, et chaque chiffre du nmltiplicateur renversé donnant des centièmes par son produit avec celui des chiffres du multiplicande qui le surmonte, on conçoit que, si le 3 qui termine ce multiplicateur renversé avait un chiffre au-dessus de lui, leur produit donnerait aussi des centièmes, et que, ce chiffre manquant dans le multiplicande, le produit manquera aussi des centièmes qui s'y seraient trouvés si l'on avait connu dans le multiplicande le chiffre qui suit le 8. Par conséquent, on ne pourra pas calculer tous les centièmes, parce que le multiplicateur renversé dépasse à droite le multiplicande.

De plus, s'il y avait au nndtiplicateur renversé deux chiffres avant le 2, ces chiffres donneraient encore, avec le 4 et le 3 qui les surmontent, des centièmes qui manqueront au produit. Par conséquent, on ne pourra pas non plus calculer tous les centièmes, parce que le multiplicande dépasse à gauche le multiplicateur renversé.

Dans l'exemple que nous avons pris, les deux conditions d'insuccès se trouvent réunies; mais il est évident qu'une seule suffirait pour empêcher d'obtenir l'approximation demandée. De là nous concluons la règle suivante, qui ne s'applique pas aux facteurs e.racts, où il est clair qu'on peut remplacer les chiffres manquants par des zéros.

Les deux facteurs étant disposés suivant la règle d'Oughtred, il est impossible d'obtenir l'approximation demandée :

1°. Lorsque le multiplicateur renversé dépasse à droite le multiplicande, supposé inexact ;

2°. Lorsque le multiplicande dépasse à gauche le multiplicateur renversé, supposé inexact.

Quand l'une de ces deux circonstances ou toutes deux se présentent, il faut reculer vers la gauche le multiplicateur renversé jusqu'à ce qu'il n'en soit plus ainsi. La nouvelle di.sposition qui en résulte détermine l'approxiniation possible.

VI. On voit donc que la disposition la plus avantageuse parmi toutes colles qui sont permises, c'est-à-dire celle qui donne toute l'approximation que l'on peut ol)tenir, est celle qui réalise les con-

U'I'ROXIMATKtNS NUMmiOOKS- 35^

(iitions précédentes, mais de manière (|ne, si r<in fuistiit (ivriincr d'un seul rang l'crs la droite le muUiplicnteur rc/n'crsê y V une des conditions cesserait d'être satisfaite. Ainsi, pour l'exemple déjà traité (I et II), la disposition la plus avantageuse aurait consisté à avancer d'un rang vers la droite le multiplicateur renversé, ce qui aurait permis de calculer les millionirines On priit doiir établir le principe fondamental suivant :

L'erreur du produit est le plus grand des deux produits obtenus en multipliant les plus hautes unités de l'un des facteurs jjar les plus basses unités de f autre.

Pour reconnaître X approximation que l'on doit donner au. r facteurs, connaissant celle du produit, il faut donc employer la seconde expression de la règle d'Oughtred (II) et chercher la manière la plus avantageuse de satisfaire aux conditions indiquées.

Dans l'exemple oi!i nous avons reconnu l'impossibilité de calculer les centièmes, il faut, pour obtenir toute l'approximalion possible, reculer de deux rangs le multiplicateur renversé, ce qui donne, en calculant les unités simples,

Ainsi le produit obtenu, à une di-ainc près, mais réellement exact jusqu'aux unités simples, sera 1297948, tandis (pu- l<' produit exact serait 1297942,897716.

Si nous voulions calculer les centièmes dans ce même exemple, la disposition indiquée pour cela (V) montre qu'il faudrait connaître les dix-millièmes du multiplicande et aussi les dix-millièmes du multiplicateur, pour ne plus laisser de vide ni à droite ni i

gauche. Alors le multiplicande et le multiplicateur renversé se recouvriraient exactement.

VII. On pourrait avoir quelques doutes sur les résultats que nous venons d'obtenir relativement aux erreurs des facteurs et du produit, parce qu'ils semblent dépendre du procédé de la multiplication abrégée; mais il est facile de parvenir aux mêmes résultats indépendamment de tout procédé de calcul.

Soient A et B deux valeurs approchées avec les erreurs 5 et S' qui peuvent être positives ou négatives. Le produit réel sera

(A + ,î')(B + o") = AB H-B(î-h A^'-l-^^',

tandis que le produit approché sera AB. Donc l'erreur du produit sera

en négligeant S8' qui sera évidemment d'un ordre d'unités inférieur à celui de B 5 et A 5' .

Supposons, par exemple, que B5 soit la plus grande des deux quantités B-î et A^', c'est-à-dire le plus grand des produits que fon obtient en multipliant les plus hautes unités de chaque facteur par les plus basses de l'autre. D'après ce que l'on a vu (ilO, VI), l'erreur du produit sera représentée par B<î. C'est le principe fondamental déjà établi (VI).

Il faut bien comprendre que cette relation

n'est pas une véritable égalité, mais veut seulement dire que s et B^ sont du même ordre de grandeur.

VIII. La même théorie s'étendra sans difficulté au produit de trois ou de plusieurs facteurs.

Dans le produit ( A -H ^) (B -h ^') (C -+- §") de trois facteurs dont A, B, C indiquent les valeurs approchées, et 8, §', S" les parties que l'on néglige ou que l'on ne connaît pas, l'erreur sera

représentée par