DIVISION

il4. I. Avant d'exposer la méthode de la division abrégée, nous devons montrer comment on peut reconnaître la nature des plus /mutes unités du quotient.

D'ordinaire cela se voit immédiatement et sans calcul ; dans tous les cas, il suffirait d'employer le procédé ordinaire. Mais quand on éprouve quelque incertitude, le plus simple est de multiplier par une puissance convenable de lo le dividende ou le d'\- \iseur Jusqu'à ce que le quotient représente des unités simples.

Quand les premiers chiffres significatifs du dividende et du diviseur sont les mêmes, il faut en prendre assez de part et d'autre pour que ces chiffres commencent à différer.

Soit, par exemple, à chercher la nature des plus hautes unités dans le quotient de o, 034245 par 3,443- Ici les deux premiers chiffres significatifs étant égaux de part et d'autre, il faudra eu

considérer trois dans chaque terme de la fraction —^ — 7-7-;^ — On

verra alors qu'il faudra multiplier le numérateur de cette fraction

34,245 par mille, ce qui fera . ? pour que le numérateur soit con-

6 , 44'^ tenu dans le dénominateur. Sous cette nouvelle forme, le premier chiffre du quotient représentera donc des unités simples; par conséquent le quotient véritable représentera des millièmes.

Cherchons à résoudre le même problème pour la fraction 50,4725 5,047

362 CHAPITRE HUITlÈiMK,

Ici tons les chiffres du diviseur se retrouvent au dividende , mais, comme ce dividende contient d'autres chiffres à la suite, on voit qu'il faudra multiplier par di.r le dénominateur de la fraction pour qu'il donne des unités simples au quotient transformé; le quotient cherché représentera donc des dizaines. Dans cette circonstance, la multiplication porte sur la division ; dans le premier exemple , c'était sur le dividende.

II. Nous avons reconnu que , dans une multiplication où les premiers chiffres du produit sont seuls importants, plusieurs chiffres de l'un des facteurs, et quelquefois de tous les deux , ne servent à rien pour l'approximation que l'on demande , et c'est là ce qui a conduit à chercher le procédé de la multiplication abrégée. De même, si l'on tient seulement à connaître les premiers chiffres du quotient d'une division, il pourra se faire que les derniers chiffres du dividende et du diviseur n'aient pas d'influence sur les chiffres que l'on veut obtenir, et nous sommes conduits à chercher un procédé de division abrégée qui nous dispense de considérer ces chiffres inutiles au résultat.

Le procédé que nous allons exposer est déjà connu, mais la manière la plus simple et la plus naturelle de le démontrer consiste à le présenter comme l'inverse de la multiplication abrégée.

Cherchons à faire la preuve de l'opération par laquelle nous avons obtenu le produit approximatif des deux nombres

763,05403678956 et 25,4460578,

dont le produit exact est

Il faudra pour cela retrancher du produit que nous avons calculé jusqu'aux cent-millièmes, les produits des chiffres successifs du multiplicateur (qui devient ici le quotient), par une portion du multiplicande (ici le diviseur) , portion qui sera d'abord 763o54o36, mais de laquelle on supprimera un chiffre du diviseur à chaque opération partielle , ce qui correspondra à ceux qu'on laisse sur la droite du multiplicande dans la multiplication abrégée.

Chacun des chiffres du quotient s'obtiendra en divisant le reste

\1'FI\()XIMATI()>S ;Mj>1KKI«JI.'KS iGi

ainsi obtenu par le diviseur abreyc de plus en plus. On voit même que le riotiibre des cliijf'res du quotient sera égal à celui des chiffres du premier diviseur; car ce premier diviseur "^63054036 , étant encore complet, donne d'abord un ehiffre du quotient, et l'on trouve ensuite un nor.vcau chiffre du quotient à clia()ue chiffre que l'on efface au diviseur : or f)n ))eut les effacer tous, excepte un.

Voici le tableau de l'opération : nous écrivons les produits partiels, ce dont on se dispense souvent dans la pratique; mais nous le faisons pour montrer la correspondance des deux opérations, par l'identité i!e ces produits avec ceux qu'on a obtenus dans la multiplication.

On fait usage des retenues supplémentaires, absolument comme dans la multiplication abrégée.

Le reste 7 (pic nous obtenons ici tient en partie à ce que nous

364 CHAPITRE IIUITILME.

avons pris pour dividende le produit exact et non le produit approximatif que nous avions calculé (115, I et II). Comme dans ce produit réel le dernier chiffre 4 du produit approximatif est suivi d'un 6 , il faut le forcer, ce qui fait que nous avons retranché le 4 qui termine le produit partiel 1526108074? non point de 4? «"«iis de 5 , ce qui a donné i pour reste. D'ailleurs, en renversant les facteurs ( 115, II), on avait trouvé 5 pour dernier chiffre du produit approximatif.

Mais cette observation ne donne, pour former le reste 7, qu'une seule unité de l'ordre que nous considérons, et les six autres tiennent à l'existence d'un chiffre qui doit suivre le dernier chiffre 7 du quotient, mais que l'opération précédente n'a pas déterminé; car, d'après la nature du calcul , on a vu qu'il ne pouvait y avoir au quotient plus de chiffres qu'à la partie utile du diviseur. On pourra cependant en trouver un de plus, par un artifice facile à comprendre : puisque 6 est la retenue supplémentaire jlonnée par ce chiffre avec les premiers chiffres 76 du diviseur, un tâtonnement assez simple fera reconnaître que ce chiffre est 8.

On ne pourrait obtenir d'autres chiffres du quotient, et l'on a vu en effet que , dans la multiplication abrégée correspondante (115, I), s'il y avait d'autres chiffres à la gauche du 8 dans le multiplicateur renversé, ils n'auraient aucune influence sur le ])roduit.

Du reste, il n'est pas toujours possible de déterminer ce chiffre supplémentaire.

III. D'après cette correspondance des deux opérations, on peut conclure la règle suivante pour la division abrégée:

On commence par déterminer la nature des plus hautes unités du quotient (I). D'après le nombre de décimales que l'on veut calculer, soit n le nombre déchiffres significatifs qu'il faut obtenir au quotient, on prendra aussi n chiffres au diviseur, et l'on sépa-^ rera sur la gauche du dividende un nombre capable de contenir le diviseur ainsi modifié , ce qui donnera le premier chiffre du quotient; on aura les n — 1 autres en effaçant successivement n — i chiffres au diviseur, mais il faudra à chaque opération tenir

Al'I'tVUMMATlONS N II M LlllyH KS. 365

cominc de la retenue supplcmcntcitrc duc à la paitte ne^lif^ie ou ey'acée du diviseur.

On pourra mcmc obtenir (iii(.'1(iik l'ois un rliiffro (k- jvlus par rartilice employé dans Tarticlc précédent.

Tel est l'exposé de la règle, qui est clairement démontrée par la réciprocité des deux calculs; elle s'apj)lique sans difficulté à toute espèce de quantités décimales et aux nombres entiers euxmêmes , car il peut arriver, selon la nature des quantités j que l'on ait à négliger des chiffres entiers si les unités supérieures ont seules de l'importance.

Nous savons qu'on doit toujours calculer un chiffre de plus qu'on n'en veut garder; mais si, pour plus de sûreté, on en désire deux au lieu d'un, il faut prendre n -\~ i chiffres au diviseur et séparer aussi un chiffre de plus au dividende (*).

IV, Cette règle est soumise à une exception unique , et qui se présente très-rarement. Cette exception a lieu quand le dividende et le diviseur modifiés sont identiques, et quand, de plus, en comparant dans chaque nombre donné les chiffres de gauche à droite au delà de la partie conservée, on finit par trouver un chiffre du dividende plus petit que le chiffre correspondant du diviseur ; alors il n'y a pas de calcid à faire, et tous les chiffres demandés sont des 9.

Soit à diviser 456780?. par 456781, nous verrons d'abord (I) que le premier chiffre du (juotient sera celui des unités simples ; en effet, si l'on ajoute un zéro au diviseur, il ces.se d'être contenu dans le dividende.

Supposons maintenant que l'on demande trois chiffres au quotient; le diviseur modifié sera 4^6 (ou plutôt 457 à cause du chiffre suivant) , et le dividende modifié aura la même valeur. Il semble donc, d'après la règle, que le quotient soit égal à i, tandis que la division ordinaire donne évidemment 9 unités : cela tient à ce que, si l'on compare, comme nous l'avons dit, les chiffres

(*) Le quotient sera géncraleraenl plus approché si les erreurs du dividende et du diviseur sont de même sens; il est clair ({uc ces erreurs exerceront alors des inlluenccs contraires sur la î;randeur du nuDiioiil.

suivants du dividende et du diviseur, on trouve dans le dividende le chiffre o correspondant à i dans le diviseur, ce qui exige qu'on prenne un chiffre de plus au diviseur.

Il nous reste à démontrer que , par suite des suppositions précédentes, le quotient commence par autant de 9, moins un, et souvent même par autant de 9 qu'il y a de chiffres identiques de part et d'autre à la gauche du dividende et à celle du diviseur. Soit m la quantité qu'il faudra ajouter au dividende pour qu'on ne soit plus obligé d'y séparer qu'un nombre de chiffres égal à celui du diviseur, le premier chiffre du quotient sera 1, moins le quotient de m par le diviseur. On peut considérer m comme un certain nombre d'unités de la nature des premiers chiffres non identiques. Si donc m est plus petit que le premier chiffre du diviseur, augmenté d'une unité, le quotient de m par ce diviseur sera plus petit qu'une unité de l'ordre du premier des chiffres non identiques , et il y aura autant de 9 que de chiffres identiques ; c'est ce qui a lieu dans l'exemple actuel , où l'on peut poser TO =3 2, nombre inférieur à 5, c'est-à-dire au premier chiffre 4 du diviseur, augmenté d'une unité. Si, au contraire, m est plus grand que nous ne l'avons indiqué, cependant m ne pourra dépasser ni môme atteindre 10 unités de l'ordre du premier des chiffres non identiques , c'est-à-dire une unité de l'ordre supérieur; on pourra donc toujours compter sur autant de 9, moins un , qu'il y a de chiffres identiques.

Ainsi , dans l'exemple proposé , le quotient approché avec trois chiffres sera 9,99; cependant il .sera plus exact de prendre le quotient en excès, 10 unités. En effet, on vient devoir que, dans le quotient exact, 9,99 est encore suivi de deux 9 (*)■

V. Nous avons obtenu la règle de la division abrégée comme l'inverse delà multiplication abrégée, en remarquant que chaque chiffre laissé de côté dans le multiplicande correspond à un chiure effacé dans le diviseur. Mais il faut prémunir contre certaines difficultés qui tiennent, non à l'imperfection de cette règle, mais aux limites nécessaires de l'approximation.

(*) Cette eiception nous a été indiquée par M. Gerono.

Ai'i'H()\i.'>iATUi%s M Mimons. 3(i'i

Si I un clos deux nombres donnes , le dividende ou le diviseur, est exact, et ne contient ])as le nombre de eliiffres exigé par la règle précédente, on doit y compléter ce nombre de chiffres par des zéros; mais supposons qu'il soit inexact et ne contienne que trois chiffres , par exemple, au lieu de cinq que réclamerait l'approximation demandée, et qu'après ces trois chiffres il doive m exister encore d'autres que Ton ne connaisse pas, il n'est plus permis de les remplacer par des zéros : cela prouve qu'on ne peut pas oblenir le quotient aussi approché qu'on !e désire, et qu'il faut alors se contenter d'une approximation plus limitée, que nous allons déterminer d'après le procédé même de la division abrégée.

Pour cela , nous avons à résoudre deux problèmes dont voici le premier :

Connaissant le dividende et le diviseur avec une certaine appro.rinintion , trouver avec quelle approximation on peut obtenir le quotient.

Si le dividende a plus de chiffres que le diviseur, il faut évidemment prendie sur la gauche du dividende une quantité capable de contenir le diviseur; au contraire, si le diviseur a plus de chiffres que le dividende, il faut pi'endre sur la gauche du diviseur autant de chiffres qu'on le peut, pourvu que le diviseur modifié soit contenu dans le dividende. L'opération ainsi préparée, le quotient aura autant de chiffres que le diviseur, modifié s'il y a lieu.

Comme exemple de ce premier problème, nous allons vérifier la multiplication abrégée relative à la hauteur barométrique (Hô, IX), en divisant o,23o4 par o,oooi6i458.

Nous allons faire le calcul en gardant le dernier chiffre L\, nonseulement pour faciliter la vérification , mais pour faire observer que Con ne doit jamais effacer le dernier chiffre que dans le résultat définitif de tous les calculs. En effet, lorsqu'on efface ce chiffre, sauf à forcer le chiffre précédent, .s'il y a lieu , c'est seulement pour empêcher qu'on ne suppose l'approximation plus grande qu'elle ne l'est en realite ; mais quand un résultat partiel doit encore entrer dans d'autres calculs, on doit le prendre tel

qiion Va obtenu, c' est-à-dire avec ce dernier chiffre , qui approche toujours de la vérité et qui même peut être exact.

Ici nous chercherons d'al)ord (I) la nature des plus hautes unités du quotient, et uous verrons qu'en multipliant le diviseur par looo, on trouve

ce qui donne des unités simples; donc le quotient contiendra des mille :

A%ti I 58

Ainsi le quotient contiendra quatre chiffres entiers et sera égal à 1426; seulement on ne devra pas trop compter sur le dernier chiffre 6 des unités simples. Cependant on remarque que ce chiffre doit être en défaut , car le reste i montre que les deux premiers chiffres 16 du diviseur donnent avec le chiffre suivant du quotient une retenue supplémentaire égale à 1 ; donc le chiffre qui suivra 6 au quotient sera au moins égal à 5 , mais cette considération ne suffit pas pour le déterminer complètement.

On voit d'ailleurs l'application de la règle que nous avons donnée pour la solution de ce premier problème, puisque nous avons séparé au diviseur le nombre i6i4 qui est compris dans 2804, et c'est ce qui fait voir qu'on n'aura que quatre chiffres au quotient.

Voici maintenant l'énoncé du second problème , inverse du premier.

Le quotient devant être calculé avec une approximation donnée,

API'UOXlMATU)NS NUMÉRIQUES. 3Gf)

trouver (ivre f^iirilc ajj/)n>.rifnnti(>'/ l'on doit pivnflrr Ir iliviilcnHr et le diviseur.

On a vu qu'il suffisait de cherclicr au diviseur autant <i« chiffres significatifs que l'on voulait en avoir au quotient, et de prendre aussi à la gauelic du dividende un noird)re capable de contenir le diviseur modifie. Ainsi l'opération de rarlicle II est ini exemple de ce problème.

On comprend néanmoinii (pi'il ne sera pas toujours possible de satisfaire aux exigences de l'énoncé. Le diviseur n'a pas toujoius autant de chiffres qu'on désire en obtenir au quotient, et si même il lésa, le dividende ne peut pas toujours contenir le diviseur modifié; or nous savons qu'il n'est pas permis de remplacer les chiffres par des zéros, excepte dans les nombres exacts. Si donc ni le dividende ni le diviseur ne sont exacts, on déterminera l'approximation /.'o.vj/Z'/^', comme il a été dit dans la solution du premier problème.