APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

11. L'approximation telle que nous l'avons considérée jusqu'à présent, et qui consiste simplement à négliger les puissances supérieures de l'erreur, ne suffit pas dans toutes les circonstances. Il peut se faire que l'erreur soit assez considérable pour que le carré, le cube même de cette correction, étant multipliés d'ailleurs par des coefficients qui peuvent être considérables, soient trop grands pour être négligés ; on doit alors se servir de cette première approximation pour substituer dans l'équation une valeur déjà corrigée, afin d'avoir une seconde correction, puis une troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ait obtenu l'approximation désirée.

Cependant le calcul serait en défaut si la correction qu'il donne atteignait ou dépassait la valeur initiale, car il est clair qu'on ne pourrait plus la négliger relativement à cette valeur.

Pour premier exemple, cherchons la valeur de \/5; sa partie entière est ?.. Nous pouvons donc poser

y/5 = 2 + .7:, d'où 1 '.= ^x,

en négligeant x'^. On a donc

ce qui donne pour seconde approximation

81 or

APPROXIMATIONS SUCCKSSIVKS. U

Alors

ar" î ^,, ^. ' .

2 il) * -J 2 '

iloilr

/F 9 J i6i VO = T = = 2,23di:

ce résultai ne diffère qu'aux dix millièmes du résultat vrai y/5 = 2,23607.

0\^ voit que les corrections peuvent cire tantôt positives, tantôt négatives.

Ici il a suffi de deux corrections pour avoir une approximation assez considérable, mais l'on n'est pas toujours si heureux.

Clicrchons la racine cubique de 2 ; nous poserons

ce qui donne

en négligeant x- et .r\ parce que .r <^ 1 . On a donc

d'où l'on tire encore

2 = h -5- .>• et -^ r =

et enfin

y Ainsi

.1-4 5 qi roooo

au lieu de

L'approximation ne s'éteiul donc ([u'anx centièmes.

l6 CHAPITRE DEUXIÈME.

Prenons encore pour exemple l'équation .r'' -\- loox — I 1= o,

et remarquons que l'une de ses racines diffère très-peu de >

' ' lOO

car, par .7- = , le premier membre se réduit à > ciui

lOO lOOOO

diffère peu de zéro. Nous pouvons donc, en modifiant un peu la méthode pour simplifier le calcul, remplacera: par 0,0 1, seulement dans le carré r', ce qui donne

et l'on a jiour seconde valeur

mais la première valeur .r = 0,01 était déjà suffisamment exacte. On trouvera l'autre racine en observant que la somme des deux racines est égale à — 100.

12. Une question qui se présente souvent consiste à calculer les racines d'une équaiion du second degré quand le coefficient de r' est très-petit.

Soit donc a très-petit dans l'équation

ax'- -h bx -\- c = o ; on en conclut

ce qui donnerait

pour première valeur de l'inconnue, si a était tout à fait nul. Transportons donc cette valeur dans le second membre; on trouve pour seconde valeur

APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. l 'J

L'autre racino se oalculoia encore en retrancliani relie prc-

mière racine île

Celte méthode, déjà employée dans rexem|)le prccctlcnt , conduit à des calculs très-simples; mais comme on substitue la première valeur de l'inconnue dans le carré de. r et non dans la simple puissance, on pourrait craindre qu'elle ne fût pas surfisanimenl exacte : il est donc utile de la contrôler par les procé<li'S déjà connus (*).

On sait que

— ô db yb- — ^nc

ou bien

( s/b- — 4 ffc — b) { \/h' — /^ac -h b)

1 a > ^b' — ^rir

en prenant seulement le signe positif du radical.

En réduisant, on a

(*) T,e calcul qui va suivre fait seulement voir que cette méthode esl exacte dans les mêmes limites que celle de Newton, qui n'en diffère pas essentiellement et que nous développerons bientôt ; mais il se présente des circonstances où elle tombe en défaut , c'est-à-dire que les valeurs successives ne s'approchent point de la racine. C'est ce qui arrive pour les équations

TX--i-I0X — I0' = 0 et X- -+- 10 X — I0'=:0

lO" 10*

que nous a communiquées i\I. Ilaranl. Selon M. Gerono, cette méthode n'est applicable que si ac est très-petit par rapport à i*. En effet, dans l'expression

c ac- c { ac\

il faut i|uc — < I pour ([uc la correclion soit plus (lelilo que la promièTc v-iiiour.

ib CHAPITRE DEUXIEME.

On évaluera v'^' — 4^^^ P**'' '■' foi'iiHile conmir

qui donne

, / Lac I ' iac\

inc

d'où l'on tire

bc

b^ — ne

Pour identifier cette valeur avec celle que nous avons déjà trouvée, il faut diviser bc par b'^ — «r, ce qui donne, en ne conservant que les deux premiers termes du quotient, et supprimant ceux qui contiennent a'' et les puissances supérieures, la valeur

c ac'^

que nous avions obtenue d'une autre manière. Du reste, on arrivera au même résultat en posant

y étant très-petit, on négligera j% et il reste

mais ay est négligeable, puisque n est aussi très-petit, ce qui donne

comme ci-dessus.

Les extractions successives de racines carrées de la forme

sja ■+- \b peuvent quelquefois se ramener à des extractions simples. Soit

\Ja -ts/b = s/â-h y/p; élevant au carré, on trouve

rt + v^6 = a 4- p + v/4âp .