X -h ^ = a et afi
donc X et 8 sont les racines de l'équation
qui donne
•'■ = - m - Vrt — b.
La transformation n'est donc utile que si «' — h = c'^ est un carré parfait ; alors
Par exemple
15. Les approximations successives s'obtiennent d'ordinaire par la méthode de Newton, qui est fondée sur le développement des fonctions en série.
Le théorème de Taylor donne
tes coefficients de h sont les dérivées successives Aç f{^x), où x est remplacé par (i.
Soit donc j=/[.t) une fonction quelconque, et supposons que a soit une valeur de jc assez approchée d'une racine de l'équation y* (.r) zz^ o , h étant la quantité qu'il faut ajouter à a pour avoir cette racine. Cela revient à supposer
20 CHAPITRE DKUXIKME.
d'où il résulte
Comme A est suffisamment petit, on posera, du moins pour une première approximation ,
ce qui donne
On obtiendra ainsi une valeur de la racine, généralement plus approchée que la j»remière. Soit donc
on substituera cette valeur a,, comme on a fait pour a, ce (jui donnera pour seconde approximation
et ainsi de suite. C'est en cela que consiste la méthode de Newton.
Prenons comme exemple l'équation
et cherchons celle des racines qui est comprise entre o,oG et 0,07. La première de ces valeurs étant substituée dans le polynôme donne
et la seconde
La seconde valeur étant évidemment plus approchée que la première, nous poserons <ï=:o,07 et en la substituant aussi dans/' (x), on aura
o,oo553q3 ^^
h = -, fi~= — 0,0005o.
APPROXIMATIONS hUl CKbbJ V tS. 21
On liouvo ainsi
et, == o ,o6i)42, oiisuilc
, 0,00:11 1 1 --Sq ,, ,
00 qui cloiinc
tij =z 0,0(39431845.
14. On j)cut croiie (.l'abord que l'approximation croît rapidement quand on emploie cette méthode : en effet, supposons, pour fixer les idées, que h soit plus petit qu'un centième, comme dans l'exemple précédent, le carré h'' qu'on néjjligera dans la première approximation sera plus petit qu'un dix-millième, et il semble qu'une approximation doive toujours s'exprimer ainsi par le carré de la précédente. C'est ce qui a lieu quelquefois, et le calcul précédent en offre un exemple, comme on pourrait s'en assurer; mais le coefficient qui multiplie h-, et les termes qui le suivent, ne permettent pas toujours que l'approximation soit aussi considérable.
Quelquefois même l'importance des termes que Ton néglige va au point de donner des corrections qui éloignent de la racine au lieu d'en rapprocher : ainsi, une racine étant comprise entre deux limites, il peut se faire que la méthode de Newton donne une valeur qui ne soit pas comprise entre ces limites; dans ce cas la correction devient évidemment illusoire.
Il faut donc, en général , vérifier chaque approximation après l'avoir obtenue, c'est-à-dire reconnaître par des substitutions convenables si la racine est comprise dans les nouvelles limites (jue l'on a déterminées : ce qui altère beaucoup la simplicité de la méthode ; mais l'habitude du calcul peut faire éviter ces substitutions en dirigeant convenablement les approximations, et observant que les corrections sont, tantôt positives, tantôt négatives.
liî. Cependant comme la méthode de Newton tombe quelquefois en défaut de manière que le calculateur ne puisse en faire usage qu'avec de longs tâtonnements, il est important de la perfectionner de telle façon , que, sans rien perdre de la simplicité, elle
donne une approximation certaine, et que l'on parvienne même à resserrer la racine entre deux valeurs, l'une supérieure et toujours décroissante, l'autre inférieure et toujours croissante. Cette question a longtemps exercé les mathématiciens, mais on peut la résoudre complètement en combinant les travaux de Fourier avec ceux de M. Cauchy.
Nous supposerons d'abord (jue la separatioti des racines a été obtenue, soit par le théorème de Sturm , soit par tout autre moyen (*}, Ainsi, l'équation donnée f{x) = o n'a qu'une racine comprise entre « et A.
De plus, nous pouvons supposer que cette racine est positive, car cela revient à changer, s'il le faut, .ren — a-, c'est-à-dire à changer le sens des abscisses dans la courbe dont l'équation esty(x).
Nous pourrons alors supposer a o, car rien n'empêche de
commencer les substitutions par x=o; à plus forte raison, A sera positif.
Enfin, nous pouvons aussi imaginer qucy(rt) est positif: cela revient, s'il y a lieu, à changer le signe de tous les termes de /{.r), ou bien le sens des ordonnées dans la courbe dont nous avons parlé. Ces hypothèses sont faites pour fixer les idées; si la question n'y rentrait pas, il serait facile de l'y ramener.
Cela posé , décomposons la fonction et ses deux premières dérivées chacune en deux groupes, l'un positif, l'autre négatif: nous aurons donc
(*) Nous rappellerons ici l'énoncé de ce théorème. Soient X un polynôme ordonné suivant les puissances de x, et X' sa dérivée; cherchons le plus grand commun diviseur entre X et X', et changeons le signe de chaque reste. Soient Xj , Xj , X, , . . . , X^ , ces restes ainsi changés de signe , le dernier X . étant numérique, puisque X = o n'a pas de racines égales. Si l'on substitue dans la série X, X', X,, X.,. . ., X^ deux nombres a et A, (A> a), le nombre de racines de X = o comprises entre a et A est égal à l'excès du nombre de variations obtenues pour a sur le nombre de variations obtenues pour A.
vt'PRuxiMATiONS su<;(:kssivf.s. :>.3
Maintenant substituons alternativement a et A dans la partie positive et dans la partie négative Ae f" [x)y ce qui donnera les deux résultats
\"{a)—u."{k) et /"(A) — p."(a) :
il pourra se présenter trois cas différents : 1°. Ces résultats sont tous deux positifs.
Prenez alors «, = « — ^,\ \ et A, = A — •{/, {; la racine f {") /(«)'
sera comprise entre «, et A,, car il faut observer que /"(«) et y (A) sont de signes contraires, puisque « et A ne contiennent qu'une racine de l'équation.
Oa posera, pour seconde approximation,
La racine sera donc resserrée, comme nous l'avons dit, entre deux valeurs, l'une supérieure et toujours décroissante, l'autre inférieure et toujours croissante.
2°. Les résultats sont tous fleu.r- négatifs.
Prenez
La seconde approximation donnera de même
et ainsi de suite.
(*) S\f{x) est un polynôme, les termes positifs et néf;ati('s de /' (x) et dey"(x-) seront les dérivées successives des termes correspondants dey"(a:), comme nous l'indiquons ici ; mais pour beaucoup de fonctions transcendantes et même algébriques, il pourrait ne plus en éU-e de même. Du reste cela ne chan{;crait rien aux résultats qm' ncms allons énoncer.
3°. Les résultats sont de signes différents. Il faut alors substituer a dans le groupe positif de y (a-), et A dans le groupe négatif, ce qui donne
(juantité qui sera toujours négative , d'après les hypothèses que nous avons faites. Nous aurons alors
fl, =: a ^^ — et A, = A ^ — -;
en posant
et ainsi de suite ( *
I 1 Av /Il ;
ni , m I
16. Ce procédé, qui convient au cas où la méthode de Newton est complètement en défaut , a été indiqué depuis longtemps par M. Cauchy ; on peut s'étonner qu'il ne soit pas plus répandu et qu'aucun ouvrage élémentaire n'en fasse mention. Il est général, c'est-à-dire qu'il s'étend à tous les cas possibles; mais il est d'ordinaire moins avantageux que les autres procédés, quand ceux-ci sont applicables.
En effet, si le premier cas se présente et qu'on puisse employer
la formule at:=a — — - — 5 il faut que /' (rt) = /' («1 — M-'(«)
soit négatif, ainsi que m = \' (a) — p.* (A). Mais il est clair que m est numériquement plus grand que y {a), puisque le groupe négatif p.' (A) est plus considérable que i^'(«), en supposant que p.'(.r) augmente avec x : donc le plus grand dénominateur don-
nant la nliis petite Iraction, on voit que la correction — -77 ,
sera plus avantageuse que — - — — •
(*) Pour la démonstration de cette théorie, voir les Nouvelles Annala de MM. Terquem cl Gerono, torae XV, pages 2/|4 et buiv. (Juillet i85G.)
Al'l'ROXIMATIONS SncClSSlVfS. 0.5
De nu'iiu', dans le secoml cas, si l'on compare les doux valeurs négatives /'(A) = V(A) — f*'(A) et m = 1' {a) — ^l' {A), U seconde sera numériquement j)lus grande c(ue la première, parce que la partie positive/.' [a] est plus petite que >' (A), en admettant
encore que / {■>•) augmente avec .v.
La correction de iM. Cauchv, n^ ■=. a j approche de ht
plus petite racine comprise entre « et A ; elle peut donc servir même quand les racines ne sont pas séparées. On aura pour seconde correction
et ainsi de suite.
Il sera facile de transformer la méthode de manière à revenir de A à rt pour se rapprocher de la plus grande racine comprise dans cet intervalle.
