Considérons l'équation

dont les racines sont comprises, l'une entre o et — i, l'autre

entre o et i , et enfin la troisième entre 2 et 3.

Cherchons la seconde racine pour laquelle «= o, A=:i, ce

qui donne

/{(')= I l't /iA) = — F, on trouve

f'{x)^Z.r^~l^j:-i et /"(.r) = 6.r-4;

doncy" [.f\ prenant des signes différents pour les limites qui comprennent la racine, on ne pourra pas compter sur la luéthode do xScvvton, et il faut prendre avec !M. Cauchy

m = a'i/«) — 'J- (A), ce qui donne

/« = — 5, (Il = 0,2 et Ay =: 0,8. Ensuite

d'où l'on liio

flj = 0,38 et A.. =: 0,0(3 ,

20 CHAPIÏRK DEUXIÈME.

on trouvera de niènie

Une fois arrivé à ce point, on peut employer la méthode de Newton, si l'on étend cette expression à l'ensemble des deux premiers cas examinés dans le n° IS.

En effet, la quantité y" (x) = 6. r — 4 devenant nulle pour X = — := 0,6666. . . , on voit qu'elle ne change pas de signe

depuis .r = o,5 jusqu'à j:t= 0,584- Commey"(ar) est négatif pour ces deux valeurs, on se trouve dans le second cas, c'est-àdire que l'on devra poser

ce qui donnera

En continuant ainsi, l'on trouvera

Cette méthode ne s'applique pas seulement aux équations ordinaires, c'est-à-dire aux polynômes, mais à des fonctions quelconques, même transcendantes. Ainsi, considérons encore l'équation

Il est clair qu'il n'y a pas de racine négative, car cette équation revient à x.2^= 3o, et l'on voit que la subsftitution d'un nombre négatif quelconque donne pour x.t." un résultat négatif qui ne peut être égal à 3o ; de plus, il n'y aura qu'une seule racine positive, car .r.i^ croît indéfiniment à partir de x = o.

On reconnaît que cette racine est comprise entre ^ = 3, qui donne

/(«)=:6 et A = 4,

pour lequel /"(A) = — 34, ensuite

/'(jc) = — 2'^(i -+-xi 2) et /''(.r) = — 2-^12 (2 -f- al2),

APPROXIMATIONS SUCCKSSl VKS. On

on indiquant par 1?, le logarillinie népérien de 2, c'est-à-dire o,tM)3i47i8. On leconnaît facilement (]ue/"(x) est toujours négatif, i)arconsequent,

-^ifli .. A, = .---^(*>

On a

ce qui donne

/'(4)--6o,36i4, rt| = 3,i et A, = 3, 4.

On calculera 2^ par logarithmes, et l'on parviendra bientôt à la valeur

ar = 3 ,22,

qui est suffisamment approchée, car

18. Frappe de l'incertitude qui accompagne la méthode de Newton, telle qu'elle avait été exposée jusqu'alors, Lagrange en avait imaginé une autre qui n'offre pas le même inconvénient et qui même permet, à chacune des approximations successives, de calculer la valeur et le sens de l'erreur. Seulement, comme cette méthode est fondée sur l'usage des fractions continues, nous devons rappeler ici leur nature et leurs propriétés.

On appelle /'/•<7f7/o« continue toute expression de la forme

/7, ^, c, . . . , a, [i, y . . . , étant des nombres entiers positifs ou négatifs; mais nous ne considérons que les fractions continues de la forme

2S C.U^PITRK DEUXIÈME,

où les entiers «, b, c, . . . sont positifs, c'est-à-iiiic des expiossions loniposces d'un entier plus l'unité, divisée clle-niènie par un entier plus l'unité, et ainsi de suite. Le premier, a, de ees nombres entiers, peut seul être nul.

On iinnelle fractions intcirrantrs les fractions v' -i -,?•••>

t:l quotients incomplets ]es nombres b , c , d, . . . ; on appelle <//<oticrit complet une quantité telle que

prolongée jusqu'à la fin de la fraction continue, qui peut être indéfinie dans bien des circonstances, c'est-à-dire quand la valeur de cette fraction est incommensurable.

Enfin, on appelle rc'dnitcs les quantités

qui s'arrêtent à chaque quotient incomplet.

Il est facile de réduire en fraction continue une fraction ordinaire telle que

d'abord

ensuite

s.e (pii donne

ii3"

ii3 I

API'nOMMATlONS SVrrFSSIVFS. 2<)

et l'on oluieiit

On voit que cela revient an procédé du plus grand cominnn diviseur.

D'après Adrien INlétius,

355 ''~ ii3"

Fcrmntion des icdiiites. — La première réduite est

la seconde

1 ah -\- \

la troisième

Il +

[nb -\~ i) c-\- n

On voit c|ue jusqu'à présent le quotient incomplet correspondant à la réduite que l'on considère n'entre qu'au premier degré au numérateur et au dénominateur de cette réduite. Pour voir que celte propriété est générale , il suffit de prouver que, si elle est vraie pour une réduite

dont le quotient incomplet est p, elle est vraie aussi pour la réduite suivante dont le quotient incomplet est 7. Kn effet,

3o <;hapitre deuxième.

mais de plus la réduite suivante — - sera

et cette valeur

K' QV + P'

démontre le théorème suivant :

Le numérateur d'une réduite s'obtient en multipliant le quotient incomplet qui lui correspond par le numérateur de la réduite précédente et ajoutant le numérateur de la réduite qui précède de deux rangs. Le dénominateur se forme de même au moyen des dénominateurs de ces réduites.

Ainsi, dans l'exemple que nous avons pris, la |)remière réduite est

la seconde

et la troisième, ayant pour quotient incomplet le nombre i6, a pour valeur

ce qui donne la fraction elle même.

Propriétés des réduites. — I. Dans la fraction continue

APPROXIMATIONS SUr.CESSIVl.S. 3l

—,y ^' V77 l'tant les réduites qui s arrêtent aux quotients incomplets/;, r/, ;•, on a vu (|ue

Mais soit

le quotient complet qui commence à /•, il est clair que

Qf + P

ce qui donne ou bien

On voit par là que r — ^, ^'57 — '^ •''^"'- ^^^ rnême signe; donc

la valeur de la fraction continue est comprise entre deux réduites consécutives.