II. Dans cette même relation

où nous avons considéré les signes des facteurs, cpnsidérons maintenant leur grandeur. Il est clair que j ^ i ; de plus, comme les termes des réduites vont évidemment en augmentant, on a

donc, à plus forte raison,

il faut donc, par compensation, que l'on ait numériquement

32 CHAPITRE UEUXIKME.

c'est-à-dire nuii/ie réduite quelconque approche plus de la rxilear (le la fraclion que la réduite précédente. III. La différence

Q P QP' — PQ' Q^ — Jv — Q'p' ^

ensuite

R Q Q/ -f P Q PQ' — QP'

ce qui montre que le numérateur de cette différence est égal et de signe contraire à celui de la différence précédente, en retranchant toujours chaque réduite de celle qui la suit ; il suffit donc de connaître la première différence. Or

ab -\- \ a I

par conséquent, pour la seconde différence, le numérateur serait — I, pour la troisième H- i, et ainsi de suite. Ainsi, le numérateur de la différence de dcu.r réduites est zt i , suivant qu'un retranche une réduite de rang impair d'une réduite de rang pair, nu inversement : on prend toujours pour première réduite la quantité

-) même quand a = o.

IV. On conclut de là i^aujie réduite quelconque est toujours un nombre fractionnaire irréductible. En effet, puisque l'on a numériquement

QP' — Q' P = I ,

im facteur commun à P et à P' diviserait aussi le second membre, ce qui est impossible puisque ce second membre est l'unité.

V. On a vu que toute réduite de rang pair est plus grande que Ia.réduite de rang impair qui la précède, et comme elles comprennent la valeur x de la fraction continue , il en résulte que toute réduite de rang pair est plus grande que .r , et toute réduite de rang impair est plus petite que .r. Comme d'ailleurs elles s'a])prochent toujours de .r, on voit que les l'éduites paires vont en décroissant et les réduites impaires en croissant.

APPROXIMATIONS SUCCESSIVHS. 33

VI. On peut d'aprùs cela calculer Terreur (jue l'on commet quand on prend pour valeur de .r une réduite quelconque — •

Cette erreur est évidemment moindre que la différence entre —,

et la réduite qui la suit, — • Or on a vu que cette différence, R

abstraction faite du signe , est égale à I i^

R'Q' (QV + P')Q'

Souvent on ne connaît pas r, mais comme on sait que /• est au moins égal à l'unité, l'erreur cherchée se représente par - — -

(Q'-hP')Q' Quelquefois on néglige P', et Ton représente l'erreur par — - ■