FORMULES APPROXIMATIVES
20. En suivant t<i:ijoiirs les principes établis au commencement <le cet ouvrai^e, nous allons passer en revue plusieurs des formules les plus importantes, et observer les modifications qu'elles subissent quand on suppose qu'une ou plusieurs des quantités qu'elles conti(>nnent sont assez petites pour qu'on puisse négliger leurs puissances supérieures.
Parmi tous les développements en série, le plus connu est le hinome de IScivlnn, qui permet d'écrire immédiatement une puissance quelconque d'un binôme.
On a la formule
Quant aux exposants, celui de (t diminue d'une unité à cliaque terme en même temps que celui de x augmente d'une unité.
Quant aux coefficients, celui d'un terme quelconque se forme en multipliant le terme précédent par l'exposant de a dans ce terme et divisant par le nombre des termes qui précèdent.
X )>" = rt"' ( I H- z)'" m [m — i) ('" — 3)
Posant - = G, on trouve
n -\- X z= a{\ -{- z) et
on a d'ailleurs
niz m (m —
^laiiiU^nant, si x est très-petit, il reste
[a 4- x]'" = a'" -f- ma"
5o CHAPITRE TROISIKftir..
c'est-à-dire (jne, si l'on augmente la (jiianhte a iliino qiwuilité très-petite X, l'accroissement de û"' aura pour coefficient de x la (lérivcc ma"'"' de a"'.
27. Comme la formule du binôme est vraie, non-seulement pour m entier et positif, mais aussi pour les exposants fractionnaires et négatifs, on peut en conclure les développements de
=: ( I -f- £ )^' et de v^ I -i- £ = (i H- ; )- , tels qu'ils ont été
trouvés dans le chapitre F' .
En effet, cette formule donne
développement déjà connu et qu'il est facile de vérifier par celle autre méthode.
On trouve ensuite
ce qui ramène à un dévelop|)ement déjà connu par les coefficients indéterminés; mais ici on voit plus facilement la loi des termes. Enfin, on retrouve les résultais approximatifs,
(l +£)-'= 1 — î et (l ^.;
28. Nous indiquerons le logarithme d'un nombre quelconque x, j)ar lx,'Lx ou logj:, suivant que la base du système est le nombre c dans le système de Néper, le nombre lo dans celui de Briggs ou des logarithmes ordinaires, ou bien un nombre quelconque a dans un système arbitraire.
D'après cela , nous aurons
log(i-+-»:) = logt'(j: — — - -f- -ô — J
5" ' et , par suite,
Ces séries sont convergentes quand x est compris entre -(- i et — i
FOKMUI.KS AP1>IU)\IMATIVKS. 5l
Ch.inijeons .c en — x ; il vient
log(l — a:)= — logr-l j;-l-— H- — + — + - -j-
Ajoutant les deux valeurs précédentes
log(i + jr) et — log t — •^)?
on obtient
Si X est très-petit , il reste
log (i -I- x) = .c loge.
Enfin, pour donner quelques formules relatives au calcul différentiel et au calcul intéjjral , nous observerons que
r/.log dx
log^
et
d.lx dx
Réciproquement,
dx
On a aussi
'^ '^ - J^rzD-^c
dx
\'-r' 4- I De même
et
I dx y/x' — I =r C H sjx^ — I l {x A~ \/x- — I )
/ dx y/.r'-}- I = C -f- - \/x'' + 1 / ( v^-^' + 1 — ^).
