Pour les fonctions exponentielles
xla (xlaV (xlaY [xla]'
52 CHAPITRK TRDISIÈMF.
Si (7 = e.
et pour .r = I,
On trouve (jue relte hase des logarithmes hy perholiqucn, que l'on appelle qiu'lcjuefois aussi nrjiérieris, est un nomhre incommensurahle égal h 2,718281828. . . .
Soit M le module jiar lequel il faut multiplier les logarithmes hyperholiques pour ohtcnir les logarithmes vulgaires; on a vu dans le numéro précédent que M =: Le. Or, si l'on multiplie / 10 parce module, on doit avoir l'unité, puisque Lio = r, ce qui donnera
/io,Le=i et M =
On trouve
/ 10 = 2,3o2585o92() et M =: Le = o,4342944^'9'
Les séries a' ou c^ sont toujours convergentes, quel que soit x, parce que les facteurs qui s'accumulent au dénominateur finissent toujours par l'emporter sur le facteur constant dont s'accroît le numérateur.
On a en général
d.a^ lot^w
dx log e
Mais si l'on prend e pour base , il reste
—--- ■= la . n\
et si , de plus, « = e, on a enfin
=r e" et même — ; — =. e^;
dx dx"
donc aussi
l a'^dx = ^ + C et 1 e^ dx = e^ + C.
lORMUlKS AI'l'RdXlMATIVES. 53
50. Los fonmiles relatives à la trigonométrie sont encore reiiKirquables. Nous avons les deux développements
Ces séries, frouvies |)ar INcvvton, sont toujours convergentes, et l'on sait d'ailleurs que le ternie auquel on s'arrête est la limite de l'erreur, puisque les termes sont alternativement positifs et négatils : il faut observer aussi (jue l'arc x est exprimé ici , non pas en degrés, mais en longueur de la circonférence dont le rayon est l'unité.
Ces formules font voir (jue si l'arc est très-petit, il jieut se remplacer par son sinus, mais que ce sinus est loujouis plus petit que l'arc; elles montrent aussi que le cosinus d'un arc très-petit se remplace par l'unité, niais (ju'il est \\\\ peu plus pelil (pie l'unité.
Ainsi les formules générales
sin ( rt 4- Ji- ) =r: sin ti cosx -|- sin j: cos^« et
eos(^/ -\- x) =■ cosr/ cosx — sin « sin./;
peuvent se remplacer, quand r est très-petit, par les lormules approximatives
sin(« + ,r) = sin a -\- x cosa et
cos(a + x) = cosrt — X siurt.
ôl. On développe l'arc dont la tangente est ■> , par la loruude suivante, due à Leibnitz,
arc tang x = x — — -i- — h--.-
Seulement celle formule n'est convcrgt^nte tpie pour x conq)ris
54 CHAViraE TROISIKME.
entre H- i et — i. Nous verrons comment on l'emploie pour calculer 77.
La tangente et l'arc sont toujours très-petits en même temps, car il reste alors
arc tang x =i x;
mais la tani^ente est un peu plus grande que l'arc, car la partie négligée dans le développement est négative, comme on peut le voir. La formule
tangi <7 -{- x)
devient
tang(« H- x)
tang« + tangx
1 tang« tang.r
tang a -{- X
tang a
pour X très-petit. Effectuant la division et négligeant les puissances supérieuses de x, il reste
tang (a -+- x) =i tang a H •
On a pour les sinus et les tangentes
d . sin X
dx
= cos X ,
d . cos X dx
et aussi
d.lixu^x i
dx cos'j:
