C -f- arc cotj

lOUMULhS Ar'I'ROXIIVlATlVtS. 55

On ln)iive aussi

/(Ix , f djc

■ = C -t- arc SU) x, l — =::. = C -f- arc cos-i- , V I— x^ J V c— x'

r<l-^' ,^ . • f (ix ^ , / , ^ i \ -: — =C^-/tan^-.', / =:€— /taiiL' 45" x , , sin»: "2 J cosjT ° y 2 /

/ (Ix \1 \ — x- = C H — a; V 1 — x' H — arc sin j;.

32. Comme ce ne sont pas les sinus et les tanj^enles que l'on emploie dans les calculs, mais seulement leurs logarithmes, il est indispensable dans la pratique de transformer les sommes et les différences des fonctions Irigonométriques en produits et en quotients; c'est ce qu'on aj)j)elle rendre une quantité calculable par loi^arithmes.

On a des formules pour certains cas particuliers; telles sont les suivantes :

sjn /^ + sm 7 = 2 sin - (/> -j- q ) cos -[/> — // j , siny>» — sin (j ^ i sin — {]) — «y ) cos - {/>> -f- 7 ) , cosp + cos 7 = 2 cos ~ [p -\- q ) cos ~ [p — 7 j , cosy.» — cos 7 = 2 sin -(/■>-{- 7 ; sin - ( yj — 7 j .

Mais il faut faire la transformation indiquée dans toutes les circonslances possibles.

Soit

la soinnie de deu\ quantités «luelconques, et posons

n = tang a , h = tang p ; nous aurons

r = tang y. -+- tang p, ou bien

sin a sin [i sin a cos (5-1- sin (5 cos a cos a cos [5 cos a cos p

et enfin

sin(a H- fj)

COS a cos p

quantité caltulable par logarithmes; on a d'ailleurs trouvé aussi par logarithmes les angles a et p.

Cette formule est absolument générale, car une quanlité quelconque peut être représentée par nne tangente, puisque les tangentes s'étendent depuis — co jusqu'à H- co . S'il s'agissait de la différence a — ^ de deux quantités, on trouverait

sin ( a — S )

cos y. cos [ï

Cependant on j)eut arriver au même résultat d'une manière

encore plus simple. Comme il ne s'agit que de la valeur absolue

des quantités, nous pouvons supposer que a et Z» sont positifs

dans la sonune

, /■ b \ jr ^ a -{- 0 =^ a [ i -\

Posons alors

- = tang' cp,

on calculera a par logarithmes, et l'on aura j=r«(i-+- tang-^) =

cos' 'f

ce qui se calcule aussi facilement par logarithmes. En supposant, comme on peut toujours le faire, a "^ L> , on pourrait poser encore

-= cos}.

d'où

y = (7 ( I H- cos i|/ ) ,

r = 2 a cos- -il-

IDU.MIII.KS Al'I'UOMMATlVKS. 5']

Mais la tiansfoiiiiatioii qui donno

cos^y

est préférable, parce que l'angle auxiliaire y est calculé par une tangente, tandis que ■!> se calcule par un cosinus; or on doit regarder généralement le calcul des angles comme obtenu avec plus de précision par les tangentes que par les sinus et cosinus, parce que les différences des logarithmes des tangentes sont toujours plus grandes dans le même endroit de la Table que celles des logarithmes de ces autres lignes (*] .

L'usage du sinus sera plus avantageux que celui du cosinus pour les arcs très-petits, et celui du cosinus pour les arcs très-près de c)0 degrés.

Il serait facile de rendre calculable par logarithmes une somme de trois quantités et d'un nombre plus considérable, en les ajoutant une à une.

Soit maintenant la différence j = « — b de deux quantités: puisqu'il s'agit de la valeur absolue de celte différence, nous avons fi ~^ h , ce qui donne

car on peut poser

— = sin' '-, puisque - <r i •

On aura donc

y = a cos" <)/.

?sous allons prendre des exemples très-simples pour éclaircir cette méthode. Cherchons, dans un cercle dont le rayon est égal à l'unité, la somme du cùlé du carré inscrit et du côté du triangle éciuilaterai inscrit; il faut donc poser