ri ^ v
'*) Cela suppose néanmoins ces différences assez petites pour que l'on piiissu ;i[ipli<iucr la pinporlion des Tables.
et aussi
laiië <?= -p' OU plutôt
R étant le rayon des Ta])lcs, égal à io'% on aura iloiu-
L langy — 10= j(L3 — L2) = 0,0440228 ,
ce <iui donne
en négligeant les fractions de seconde.
Ensuite
v/â . . R'v/2 r= 5 ou plutôt r =
COS^<p COS^<j)
L7 = 20H — L2 — 2L coscp = 0,4977938;
donc
On trouve , en effet ,
Calculons encore
et posons
s/i sin^(j)
ce qui donne
2 L sin«p = 20 H L2 L3.
Ainsi
L sin 9) = 9,9559772 et ^ =: 64" 38' 8".
Par conséquent
r- r- I- COS>
lORMUIES Al'PKOMM ATIVKS. 5()
donc
L (y/3 — v^) = - L 3 + 2 Lros^ — 20 = iqjSo^scjS — 20 .
Si nous écrivions 20 au lieu de 19 pour caractnislique, la différence serait positive et égale à 0,5022078; mais, comme nous avons ajouté l'unité, il Huit la retrancher, ce qui donne
ou , connue on l'écrit d'ordinaire,
On a donc
y/3 — y/2 = 0,317839 au lieu de 0,31784-
53. Parmi les formules de trigonométrie rectilignes, celles qui sont relatives aux triangles rectangles n'ont pas besoin de pareilles modifications et sont naturellement calculables par logarillimes. C'est, i\u moins, ce qui a lieu pour les formules
/i = a sinB , b = c tang B , b = \/(r — c^ = \/[a -h c][a — c); quant ;\ la formule
a — \lb- H- c-" = c k/ \ -f- — ,
on devrait poser, comme on l'a vu ,
— = tang' ^ ,
mais il est facile de reconnaître (jne cet angle » n'est autre chose qu eB.
Pour les triangles quelconques, la relation
sin A sin B sin C abc
est aussi calculable par logarithmes.
Il en est de même pour la formule
lang - ( A — B =r rot - C . -, -,
6o CHAPITRE TROISIÈME.
(jui résout un irianj^lf où l'on donne l'angle C et les deux côtés a et h qui le comprennent. Si l'on chercliait à trouver direclenient le coté c, il faudrait employer un angle auxiliaire cp , qui serait précisément égal à - (A + B).
Quand on considère une série de triangles, il arrive quelquefois
que les logarithmes de ces côtés a et h sont connus d'avance ; pour
éviter de chercher dans la Table la grandeur de a et de b , voici
l'artifice (pie l'on emploie. Soit a le plus grand des deux côtés,
nous poserons
et
a I — lang y
/; ^ 1 + tang 'j)
or, puisque
on aura donc
tang^(A - B) = cot^ C. lang (45-' - <f.).
Pour trouver les angles d'un triangle dont on connaît les trois côtés, on a la formule
cos A =
2 bc
avec deux autres analogues pour les angles B et C , mais elles ne sont pas calculables par logarithmes. On les transforme de manière à obtenir
siu-A=l/^^^^ j-^ -S cos- A=t/<-^4 ■
1 \ bc 1 y bc
lang- A = 1/ -!- '^' , '•
et, par suite.
lOUMII.KS AI'PROXIMATIVI S. (') I
.1 ' . tani'4A
l-.ii ((Mnplacant lang - A par — ^ — - o» emplovant les coinplc-
inolUs arithmétiques, on trouve
L tang i A = - [L (/> — /») --h L {/j — r) -+- C I. /j -+- O L {p — a)\
Ici "^.p = a ->t- h -\- c. Cette formule est préférahle aux deux autres, non-seulement parce que la tangente est plus avantageuse (pie le siinis et le cosinus , mais parce que, si Ton veut déterminer
les trois angles, le calcul des valeurs tang- A, tang-B, tang-C
n'exige que les logarithmes de/^, ]> — n , p — l> ■, p — c, tandis que le sinus et le cosinus forceraient aussi à calculer les logarithmes de rt , b et c.
Soit S la surface du triangle ; on a aussi
S = sip [p — a) {p — h) [p — r).
Cette expression est un cas particulier de celle qui donne la surface du quadrilatère inscrit dont les côtés sont n, h , c, c/ et dont le périmètre 2.p = a -\- b -\- c -\- d; on a
En revenant au triangle, nous trouvons pour expression du rayon
du cercle circonscrit
„ abc
Les rayons du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits seront
ce (pii donne les relations
on a aussi
Soient D, D', D', D" les distances du centre ilu cercle circon-
62 CHAPITRE TROISIÈMK.
scrit au centre du cercle inscrit et à ceux des cercles ex -inscrits, on a les relations
D- = R=— oR,-, D'^ = R^+ 2R/', D"- = R2 + 3, R /•", D'"^ = R' + oRr'".
Enfin , soient A , B , C les trois angles d'un triangle, cest-à-dire que A 4-B + C = 180", on a
