S = A + B + C — TT = 3 P

Simon Lhuillier a trouvé la formule suivante :

tanii - =: t / taniif - taniï fanjj; tant?

Cela suppose, comme on le sait, que l'on prenne le triangle trirectangle pour unité de surface et l'angle droit pour uriitc d'angle (*).

3o. Les formules de la trigonométrie sphérique sont susceptibles de certaines simplifications approximatives quand le rayon de la sphère sur laquelle elles sont tracées est très-grand relativement à la longueur des côtés. Comme c'est ce qui a lieu pour la terre, ces considérations sont très- utiles pour la géodésie.

En effet, il faut bien distinguer le rayon R =r lo'" des Tables logarithmifiues, et le rayon r de la sphère sur laquelle se trouve le triangle. Du reste, il est facile de les rétablir; ainsi, par exemple, la formule

cos a — cos b cos c

cos A =

sin b sin c

(*) C'est-à-dire que le rapport de l'aDjjle S avec 90 degrés est égal au rapport de la surface clierchée avec celle du trianrrlc triroctniifrle de la môme phère.

doit être remplacée par celle-ci :

cos cos - • cos -

cos A = — ,

sin- • sin-

en appelant /■ le rayon de la sphère, ou même par cette antre :

cos - cos - cos -

cosA R R R

sm - sm -

si l'on veut faire usage des Tables.

On voit donc que les côtés a , b, c étant exprimés en mètres, iF faudra chercher, par la proportion connue, le nombre de degrés

abc auquel correspondent les rapports -5 -> -•> afin de pouvoir appliquer le calcul par logarithmes.

Mais si r est très-grand relativement à ces côtés a, b, e, on pourra poser avec une grande approximation

a i f ri\- I /rt'

cos - = 1 [-] -^ 5-7 -

et

On aura une approximation semblable pour les sinus et cosinus , b , c . a b c

de- et de -■> puisque -■, - et - ne sont autre chose «lue des /• r r r r '■

rapports numériques très-petits.

En appliquant ce qui précède à la formule

cos A =

cos cos - cos

sin - • sin -

»n arrive au théorème de LegcndrCy ainsi conçu :

FORMULES APl>nOXlMATIVES. 6']

Le triangle sphcriquc très-peu courbe dont les angles sont A, B, C et les côtes opposés a, b, c, répond toujours à un triangle rectiligne qui a les côtés de même longueur a, b, c , et dont les angles opposés

sont A — ^£, B — -s, C — -£, £ étant l'crcès de la somme des

ongles du triangle sptiérique sur deux angles droits.

On trouvera la démonstration de ce tliéorème, ainsi que d'autres approximations analogues, dans l'appendice qui termine la Trigonométrie de Legendre.

50. Une des applications les plus imporlanles de ces (brmules approximalives dans lesquelles on néglige les ternies suffisamment petits consiste dans la recherche des niaxinia et minima.

Soit

et donnons à la variable .t un accroissement quelconque A.r; la fonction j recevra un accroissement correspondant Aj, qui pourra quelquefois être négatif, même si Ax est positif. D'après le développement général de /(x -\- A.r), nous aurons

y H- AJ =/(.r) +/'(.r) A.r + ^-^-1 A^r -h -^-LJ A^x +. . ..

Comme y = /< x], il reste

Aj =/ (x\\x + - — ^—^ A'x -h - — 5—^ A^7- -f-

Si A.r est infiniment petit, négligeons son carré et ses puissances supérieures, il reste à la limite

A;- =f'[x) Ax.

Cette égalité fait voir que la fonction croît avec la variable si y'(x) est positif pour la valeur que l'on considère, et décroît, au contraire, quand la variable augmente, si f'[x) est négatif. Biais dans ces deux circonstances, il n'y a ni maxinuuu ni minimum de y, car Aj change de signe avec A .r, tandis que, si la quantité x donnait pour r une valeur plus grande ou plus petite que celles qui la prétèdent et la suivent immédiatement, i croîtrait avant et

après .»:, ou bien diniimierait avant et aprùs.r, c'est-à-diie que Aj aurait le même signe pour dzA.r.

Cela est impossible, à moins que l'on n'ait

car, même sans regarder S.i- et Aj comme infiniment petits et sans né{i,liger complètement les puissances supérieures de Ax, on j)eut concevoir que li: premier terme donne son signe à tout le (léveloppcm en t.

Supposons donc

/'(.r) = o, il leste

Ay = A-x ~\ A^.T -\- . . . .

Ainsi Ay aura le même signe pour db A.r, et il y aura maxinunn ou minimum suivant le signe de /" [x). Si f"{x)<^o, A y est aussi négatif de part et d'autre de la valeur x, par conséquent y =f[x) sera maximum pour cette valeur r. Si, au contraire, y"(.r)^o, Ay est positif pour dzA^r; donc x rendra minimum la fonction y :=:/' [x).

Tout cela suppose que f" [x) n'est pas nul. Si l'on avait

en même temps que

ce serait maintenant le terme

(jui donnerait son signe à la valeur de Ay, et comme ce terme change lui-même de signe avec Ax, on verrait, en répétant les raisonnements qui précèdent, que la condition cherchée serait

f" [x) = o, et qu'il y aurait maximum ou minimum d'après le signe de

On poursuivrait ainsi jusqu'à ce qu'on trouvât une dérivée qui

ÏORWULKS APPROXIMATIVKS G9

ne fût pas nulle; si elles l'étaient toutes, on ne pourrait rien conclure. Nous écartons également le cas dans lequel une ou ])lusicurs dérivc'es seraient infinies.

57. Nous venons de considérer les fonctions explicites, c'est- à-r dire celles qui sont de la forme y :=zfi^x); on peut aussi trouver le maximum ou le minimum de } quand cette fonction est implicite, ce qui veut dire qu'elle est donnée par une relation de la forme

Nous avons trouvé qu'il y avait maximum ou mininuim de y

A V . cIy

quand lim — =: o, c'est-à-dire quand ~ ■=l f ix) = o. Par A X dx

conséquent il suffira de différentier l'équation

ce qui donne ou bien

d-x^'^'-^Ty'^''^''^

^ = - \^'±l dx l df

df\ dy )

Ainsi le coefficient différentiel ~-^ est égal au rapport de la déri-

dy

dx

vée relative à r avec ht dérivée relative à y, pris en signe contraire.

La condition y (ar) = o revient donc à

(if ,.. àf

—- = o , ou bien a — = co . dx dy

Cette théorie serait en défaut si les deux dérivées —? — étaient

dx dy

à la fois nulles ou infinies ; il en serait de même si l'une des deux

se présentait sous la forme

ou

GO

co

']0 CHAPITRE TaOISIKME.

à moins que ces apparences indéterminées ne pussent se réduire à des résultats finis.

Le calcul différentiel montrerait sans peine ce qu'il faudrait faire s'il y avait plus de deux variables explicites ou implicites.

Soit

u=/(x, y, 2, . . .); on trouve

du = — ch dx

dj

dr

dz

dz-\-. . .,

et la condition, ou plutôt les conditions nécessaires pour que a soit maximum ou minimum, sont contenues dans les équations

df dx

'Il

dz'

58. Nous prendrons comme exemple la question suivante : Circonscrire a une sphère donnée un cône de volume mi ni ni uni. Soient CD = R le rayon de la sphère, SD = x + R la hauteur Fi(j. 3. du cône et AD le rayon de sa base. Le vo-

lume de ce cône sera

\ = -T,[x-^ R)AD ;

soit donc

WJ

il s'agit de trouver le minimum de la quantité

j= (x-hR). AD .

Soit sur SA la perpendiculaire CE = R : les triangles rectangles SAD, SCE sont semblables, puisqu'ils ont un angle commun en S, ce qui donne