SA = 2R(R

,>'=27rR . (R-+-a:)'(R — x).

La quantité qu'il faut rendre maximum est donc

(R + x^iR — x).

et la condition sera

d'où l'on tire et

Comme la nature de la question indique presque toujours s'il faut trouver un maximum ou un minimum , il est généralement inutile de chercher la seconde dérivée de la fonction : on devrait cepen-~ dant le faire si l'on soupçonnait que la même valeur qui a donné y (or) = o donne aussiy"(^) = o. Nous avons vu ce qu'il y avait alors à faire, mais quand la méthode est en défaut, c'est d'ordinaire parce que f'[x) se présente sous la forme - ou

Il faut alors chercher à lever l'indétermination ; nous en verrons des exemples dans la théorie des courbes.

59. Lorsque la fonction dont on cherche le maximum ou le minimum se trouve engagée sous un radical du second degré,

l-ORMUI.ES APPROXIMATIVES. "J 3

quand on reso'.it l'rqiuition par ra|>port à la variable, on peut employer une autre méthode souvent plus expcditivc.

Cherchons la plus grande et la plus petite valeur de l'ordonnée dans l'hyperbole dont l'équalion est

.»•- -f- xy — 2 j- — ?. j' — ?, jr H- 3 =r o.

En résolvant par rapporta >•, on trouve

•^Vf^

et si Ton résout l'équation

fy' + y— 2 = o,

cette expression prend la forme

La méthode est fondée sur ce que x doit toujours être réel , et , par conséquent, la quantité soumise au radical toujours positive; il faut donc que les deux facteurs dont ce radical se compose soient de même sii^ne : c'est ce qui aura lieu si l'on donne à y des

valeurs positives plus grandes que -(v7t) — 2j, mais, pour des

valeurs positives plus petites, le premier facteur sera négatif et le

second positif. Ainsi y =r- ( y 76 — 2) est le mininmin des valeurs

positives de y.

Si l'on donne à y des valeurs négatives numériquement plus

petites que - (vT^ H- 2), le premier facteur sera négatif, et le second sera encore positif, donc x sera imaginaire. Mais x redeviendra réel pour des valeurs de r négatives et numériquement

plus grandes que — (\/76 + 2', puisque les deux facteurs seront

alors négatifs. Ainsi j = (v'7^ + '^) ^^''^ "" f»'""""^'" ""-

mérique des valeurs négatives de y, ou, si l'on veut, un maxiniiiin de ces valeurs.

On voit donc que l'hyperbole n'aiya aucun point compris entre les deux parallèles menées à l'axe des .r aux distances

X = - (V7^ — 2) el j = (v'76 + 2).

On voit que celte méthode a l'avantage de déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum. Ainsi, quand la variable se présente sous la forme x = \/y'- — «% il est clair que y' = a- sera un Diiniriium ; si, au contraire, on a

X = sjà' — j-,

on voit que j' = a"- sera un maximum.

L'exemple précédent aurait pu être considéré comme une application de la recherche des maxima et minima dans les fonctions implicites. Différentions l'équation

X- -\- xj — 2jy^ — iy — 2 .r; -h 3 = o par rapport à x et à y ; nous trouverons

dy IX -h y — 2 dx ^y -t- 2 — ^

ce qui donne pour condition