FORMULES APPROXIMATIVES

iiiiniimini. On en est avoili, quelle que soit la méthode employée, pai rabsence de racines réelles; alors l'équation/' (j:) = o n'a que des racines imaginaires. C'est ce qui arriverait si l'on cherchait le maximum ou le minimum de x dans l'hyperbole dont nous avons considéré l'équation : il n'y a ni maximum ni minimum de x, parce que toutes les valeurs de x donnent des valeurs réelles pour y.

40. Dans la recherche des maxima et minima, ainsi que dans beaucoup d'autres circonstances, il est souvent utile, comme nous l'avons vu, de savoir déterminer les valeurs véritables des

expressions qui se présentent sous les formes indéterminées -

ce ou

Quelquefois, il est vrai, cette indétermination est réelle, mais cela ne se voit guère que dans la discussion des théories générales, et non dans les ({uestions particulières, du moins quand on les traite directement, car l'indétermination, lorsqu'elle existe, se manifeste alors par une identité. C'est ce que l'on remarque dans la discussion des équations du premier degré à deux ou à plusieurs inconnues : lorsque deux ou un plus grand nombre d'équations se réduisent à une seule, on reconnaît l'indétermination dans les formules générales parce que les inconnues se présentent

sous la forme - : mais quand on traite directement un problème o '

particulier qui est indéterminé, sans que l'on s'en soit aperçu

d'abord, on en est averti dans le courant du calcid parce que l'on

rencontre une identité.

Nous regarderons donc, en général, ces indéterminations comme

apparentes, et nous commencerons par montrer que la forme —

revient à -■ En effet, ———5 nui devient — i)our /'i'a-„'z=o et o I 00

F(.ro) = o, peut se mettre en yencral sous la tonne -— — ■> qm

devient alors -• o

f(x] Soient donc maintenant >'= -4 — - et x^ une valeur qui annule

/■f-r) et F(x); on demande la valeur r„= — — -^'

Pour l'obtenir, remarquons que

- +Av /'>-+ ^■^) Llf^

F{Xo-\-^x] „, , x^, / N F" (^o)

ce qui se réduit, d'après l'hypothèse, à

F'(a.„) + ^-i:^Ax-f....,

après qu'on a supprimé à.r qui était devenu facteur commun au numérateur et au dénominateur; il reste

puisque Sx = o donne évidemment

Comme x est la variable indépendante, son accroissement A.r est constant; c'est pourquoi nous n'avons pas écrit A-r,,.

On voit que cette méthode est encore fondée sur la simplification que subissent les formules quand on y néglige plusieurs termes. Si la même valeur a;o qui annuley(x) et ¥ {x) , rendait aussi nulles les dérivées premières /' {x) et F'(.r), il faudrait avoir recours aux dérivées secondes, ce qui donnerait

•^"~F"(x„)' cl ainsi de suite, s'il v avait lieu.

FORMULES AI'l'ROXIMATlVES. H'J

Cepcmlant cette niotliode serait en défaut si la valeur .r, rcndail milles ou infinies à la fois toutes les dérivées dey(x) et toutes celles de F [x). C'est ce qui peut arriver, même pour des cas trèssimples. Soit, par exemple,

it clierclioiis ce que devient j" pour :c = 2. Tontes les dérivées du niunératenr et du dénominateur deviennent infinies à la fois; il faut donc mettre en évidence le facteur commun t — 2, ce qui ic fait en posant x — 2 = z. Il jeste alors

yz. y'.r+2

ou bien

donc la vraie valeur de y pour x = 2 sera

On sait, en effet, que l'indétermination apparente lient généralement à l'existence d'un facteur commun entre le numérateur et le dénominateur de la fraction.

^ki. Quelquefois on rencontre des quantités indéterminées sous d'autres formes que

G ce

- ou

o ce

il faut alors faire usage de considérations toutes particulières. Cherchons d'abord la valeur de jr = ( i M | quand a; = co ;

il suffira, pour cela, de supposer démontrée la formule du binôme pour le cas de l'exposant entier et positif, car on peut admettre (jue /? soit un nombre entier et positif qui augmente indéfinimenl.

n8 CHAPITRE TROISIÈME.

Cela pose, nous aurons

j = iH h -^ — + '-\ ^ -T + • • ■

,-îU.--^W.,..

et à la limite , pour .*• = co , il reste