III I

Ainsi, la limite cherchée est le nombre e (\ue Néper a pris pour base des logarithmes hyperboliques.

Ce calcul a été employé par M. Cauchy, pour démontrer les séries logarithmiques et exponentielles.

Cherchons encore r = (cos.ry pour .r = o ; nous pouvons

regarder - connue un nomi)re entier et positit qui croîtrait jus-

qu'à l'infini , ce qui donne

-.2 tAx ■

y- = [l — sin^rj^=: i — - • Sin^r + - • ( "— '

OU bien encore

sin-.r 1 — -T sin*.r {i ■ — -t) (i — 2.r) sin".?- ^5—1 1 ^-...,

sin.r et enfin , en appelant z le rapport — — , il reste

Y^ =^1 — zsin.r H s-sin^x — ^^ r. ^z sin^r + —

Si maintenant on suppose .r infiniment petit, on sait ([ue ce rapport z devient égal à l'imité; donc enfin x ■= o donne j^ = i ,

FORMULKS APPROXIMATIVES. ']C)

et par suile >= i , car pour ./■ irès-pelit cos.r^ o , t- 1 une |)uissanco quelconque de ces r serait toujours positive. La comparaison de ces deux résultats

limliH — I =c, pour .v = co ,

et

lim ( cos r)* = i , pour r :=: o ,

fait voir qu'il ne faut pas seulement considérer les valeurs extrêmes des variables, mais la nature de la fonction dont il s'agit. En effet, comme ces deux expressions, pour les valeurs limites, prennent la forme i^, on pourrait croire que leurs valeurs sont les mêmes, mais il faut observer que i'" est indéterminé aussi

bien que - et — •

o co

Considérons enfin r = -^^ quand x =. o. Posons

- 5 d ou -

Il reste alors

et comme .r = o donne zzizzo ainsi que z% il est clair que j' = o.

-52. Comme application très-importante de la recherche des maxima et minima, nous allons étudier la méthode des moindres carrés qui permet de conclure, de plusieurs observations entachées d'erreurs inévitables, les valeurs les plus exactes possible des inconnues.

Dans les questions de physique ou d'astronomie, comme l'on peut d'ordinaire multiplier suffisamment les observations, on connaît, pour déterminer certaines inconnues, des équations en nombre plus grand que celui de ces inconnues; seulement, les coeffiicients de ces équations ne sont pas tout à fait exacts, à cause des erreurs qu'entraînent toujours les expériences, maison ne suppose pas qu'il y ait plus ou moins d'exactitude dans une expérience que dans une autre.

8o CHAPITRE TROISIÈME.

De plus, comme on connaît déjà des valeurs approchées pour toutes les quantités que l'on veut déterminer, nous prendrons pour inconnues les corrections de ces quantités, ce qui nous permettra de n'avoir que des équations du jiremier dej^ré , puisque les puissances des corrections seront négligeables.

D'après cela, soient x,f et z ces inconnues que nous supposerons seulement au nombre de trois; nous aurons les équations

a.v + Z»/ H- cz -]- (l := o,

le nombre n +i de ces équations étant plus grand que 3.

Si toutes ces équations étaient prises à la rigueur, il serait difficile qu'elles ne fussent pas incompatibles; mais, comme les coefficients ne sont pas exacts, on a seulement en réalilé

ax + bf -{- cz -i- d =: c,

l(n) ^ lyin) y ^ f.{„) 2 ^ f/(«) = tn'".

Les quantités e, e' , c",. . ., cH") sont des erreurs (pie nous savons exister, mais que nous ne connaissons pas.

Cela posé, Laplace a démontré par le calcul des probabilités que les inconnues x, y et z sont déterminées avec le moins de chances possible d'erreur, quand on fait en sorte cjue la somme des carrés de ces qua/itités e , e' , e" , . . . , e''-"-' soit minimum.

Cette somme sera

e- + e'- -i- . . . 4- e("^ = [ax-+- by + cz + dy -h{a'x-i-b'y-hcz-\-d'y+...-Jr{a'~"\7: + b("\r-\~c'<"'>z-^dW)\

Afin d'avoir le minimum de cette somme, il faut, comme on l'a vil à la fin du n° 57, différentier par rapport à x, h y et à z.

VOHMUÏ.KS M'I'ROXIMATIVF.S. 8l

fl cyalcr à /.cro les cocfiicienU ililf(Mcntiels , c'ost-à-ilire les dérivées du second nombre par rapport à chacune de ces inconnues. On aura donc It'S trois équations

2rt(rt.r -t hj--[-cz-h d) 4- Q. <i' [a x -ir b' y -^ c' z-\-d')-\- . . . — o, -2 b [ax + hy -\- cz -k- d) + i b' [a' x -^^ b' y -\- c' z -\- d' ) -[- . . . = o, ic (rtx-f by-ircz + d) H- i c' [a' x -\- b' y -r- c' z-k-d') H-. . . = o,

qui déterminent Us valeurs Us plus avantageuses de x, de j el

de z. Considérons, pour plus de simplicité, une seule inconnue x

et trois équations

(IX -\- b = o,

L'équation des moindres carrés sera

a {ax -\- b) -]~ n' [a X -i- b') -^ a" {-a" x -^- b" ) = o ,

d'où l'on tire

ab -\- «' b' -j- a" b"

rt' -+- a - -h a' ''

■45. On résout quelquefois le même problème par d'autres méthodes moins exactes , mais souvent plus simples pour le calcul .

Telle est la méthode des équations de condition , qui consiste à combiner de différentes manières les équations données , de sorte qu'on ait seulement autant d'équations que d'inconnues.

Supposons, par exemple, qu'on ait neuf équations à trois inconnues; en indiquant ces équations parles n'" (i), (2), (3),..., (g), on peut les disposer de la manière suivante :

(4) + (5) + (6) = o, ou bien île celte autre façon :

8?. CHAPITRE TROISIKIME.

On peut alors, pour clu-Kpie inconnue, prendre la moyenne enire les résultats obtenus de cette manière.

Dans l'exemple d'une seule inconnue et de trois équations, il n'y a qu'à les ajouter ensemble, ce qui donne

[a -t a' ■+- a" ) x -+- b -+- // + //' = o et

On vient de voir que la méthode des moyennes se rattache à la précédente, puisqu'elle consiste à combiner de diverses manières les équations données, en sorte qu'on ait par chaque arrangement un nombre d'équations seulement égal à celui des inconnues. Ensuite on ajoute les diverses valeurs obtenues pour l'une d'elles, X par exemjjle , et l'on divise cette somme par le nombre de ces arrangements.

Cependant cette méthode est distincte de la pri^cédente dans certains cas très-simples, tel que celui d'une seule inconnue et de trois é([uations

nx H- Z» = o, a' X -\- b' ^:= o, a" X -\- b" = o,,

qui donnent, en prenant la moyenne entre les trois valeurs de x ,

Prenons comme application les équations suivantes :

X =^ \, ] o JC = I I .

20 jr = 24»

et comparons les résultats fournis par les trois méthodes. Celle des moindres carrés donnera

I + 1 10 -h 480 oqi