X -\- Ah

.c- -\- Ac

+ Bfl^

84 CHAPITRE TROISIKME.

Substituant et ordonnant, on trouve

^ -h Ad rt'H-

-\- Ab' -+■ 2.Bac

-h Da' ce qui donne les équations

Art — i=o, Ai + Brt' = o, Ac ■+'2.Bah -\- Ca = o, Ad -^Bh' -h 2Brtr + 3Ca'h -h Drt' = o;

d'où Ton conclut

\abc — 5 l>^ — fi^d

Cette méthode semble en défaut quand le dcvclopponienl donné est de la forme

)- = a -t- n.r -+- bjc'' -+- cx^ + . . . .

Mais si l'on pose j — a =; z, il est facile de voir que l'on développera X en fonction de z et non de j. Par exemple, soit donnée la série

qui est le développement de c^ ; posons y — 1 = z, nous trouverons, par la méthode précédente.

résultat déjà connu , car cela revient à la formule

On est aidé quelquefois dans cette recheré -• par cette considéra-

roRMULES Ari'noxiMATiVKS. 85

lion, (jue ii hi scric directe ne contient que des cjpusants impairs , il en sera de nienie pour In série inverse. Ainsi , soit 7 = sin x, nous savons que

jr=z X —

Donc, quanti on chanj^'e le signe de l'une des variables x cl y , l'aulre change de signe, mais garde la même valeur numérique, ce qui donne

x= liy -\- C r-* + Ej* -H . . . ,

et , par la niéthode précédente , on obtient

arc sin x = r +

Cependant ce procédé général est d'un usage compliqué, et d'ailleurs il n'est pas facile de reconnaître la loi des coefficients. Aussi l'on parviendra plus focilenient au résultat précédent par la méthode ordinaire des coefticienls indéterminés, si l'on observe que

^=: A + 3Cj'H-5Er' -4- 7 G r'^H- . . . , dy

et que d'ailleurs

On a donc

= A + 3Cj' + 5 Ej ' + 7 G j'' • + . . . ,

ce qui donne très- facilement le résultat précédent en identifiant de part et d'autre les coefficients des diverses puissances de > . Il en sera de même pour le développement

(ang jr = A, .r -f- A;; x- -f- A5 x* -f- A; .r' -\- k.^x'' -\- . . . ,

inverse de la série du n" 51, et qui s'obtient assez facilement par les coefficients indéterminés, tandis que la méthode précédente sciait impraticable.

En différentiant de j)arl et d'autre, il vient

= A, + 3A,x-- -f- 5A5X' H- 7 A^ar" -h. . . ,

eos' X ou bien

cos' X =

A , H- SA^x- •-{- 5 A5 .r' 4- 7 A ; j:" -+- . . . et différentiant encore,

2 cos X sm j: = , ^r- 5

(A, -h 3A,x' -hSAiX' +7A,:c«-f-. . .)'

ce qui revient à

1 . 3 A3X -}- 2 . 5 A5 j." -h 3 . 7 A, x^ H- . . . cosorsin j: = -— x— ; ^- — ; : T.*

On voit que les premiers coefficients des termes du numérateur sont 1,2, 3, . . . , et les seconds sont les nombres impairs 3, 5, 7, ... . Divisant cette expression par cos^j:, on a