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On trouvera ainsi au lieu de

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Cette construction, <bicàl\ï. Sonnet, est donc dune approxi-

APl'MCATIONS MATHKMATIQUES. I ?. I

iiialii)ii puisque cxoi^'t rco, mais elle a rinconvcnitiU assez t;ravc, au point de vue pratique, d'exiger Teinploi de deux longueurs trèsdifférentes, le sixième du rayon et le double du diamètre.

SG. Trisection approximative de l'angle.

Soit l'angle aigu C \fig. 8) à diviser en trois parties égales : Au

Fig. 8.

point 0, pris arbitrairement sur l'un de ses côtés, décrivez avec le rayon OC une circonférence qui coupe les côtés en A et en B ; AC étant un diamètre, l'angle B sera droit. Soit OH perpendiculaire à AB ; on sait que OH divisera l'arc AE en deux parties égales, et si l'on prend encore la moitié de cette moitié, on aura le quart AD de l'arc AB ; du point D abaissons la perpendiculaire DG sur OH jusqu'à la rencontre en G de CB prolongé; enfin, du centre G et du rayon GM (la distance AM étant le tiers de AB j, décrivons une circonférence qui coupe l'arc AB en un point E, l'arc AE sera à très-peu près le tiers de AB, et l'on aur.i

AE = EF = FB,

sauf une très-petite erreur.

]\ous répétons que cette construction n'est pas tluM)ri(jucment exacte, mais seulement approximative. En effet, comme le problème de la trisection de l'angle dépend d'une équation du troisième degré, il ne pourra se résoudre par la règle et le compas, excepté dans quelques cas particuliers.

o7. Construction des polygones réguliers.

Toutes lesGéométries donrtent la construction de l'hexagone et du carré, ainsi que des j)olygoncs qui en dérivent; elles indiquent aussi celle du décagone régulier par la division du rayon en moyenne et extrême raison, mais il est plus simple d'enq)loyer la construction suivante, qui revient au même, et qui d'ailleurs est assez connue.

Menez les deux diamètres perpendiculaires AB, CK \ fig- C)'; du

l-iG- 9-

CTlAPirnE QUATRIÈME.

point C comme centre ol d'une ouverture de compas égale au rayon OA , coupez la circonférence en G et H , joignez GH, qui coupe OC en D, et du poini D, milieu de OC , pris pour centre, avec le rayon DA, décrivez une circonférence (|ui coupe OD en E : la distance OE sera le côté du décagone inscrit et AE celui du pentagone.

Cela suppose démontré le théorème suivant : Le carré du côté du pentagone régulier inscrit est égal au carré du côté du décagone régulier inscrit , plus le carré du rayon ; ou , ce qui revient au même, le carré du côté de l'hexagone régulier inscrit.

Cette construction est cjTftc^f; nous allons voir quelques constructions appro.rima tives.

Pour obtenir le côté de l'heptagone régulier inscrit, d'un point quelconque C de la circonférence pris pour centre [fig. 9) , et d'un rayon égal a celui du cercle, prenez les deux points G ^f H et joignez GH qui coupe OC en D , la longueur GD =: HD est presque égale au côté du polygone régulier de sept côtés.

On voit que c'est la moitié du côté du triangle équilatéral inscrit.

En calculant par logarithmes le côté de l'heptagone régulier, on trouve 8,86776, le rayon étant i ; tandis que