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approximation très-suffisante.

Mais voici une construction pratique qui s'applique à tous les polygones réguliers ; elle est due à Bion, mathématicien du dernier siècle.

Divisez le diamètre AB en autant de parties qu'on veut en avoir sur la circonférence; des points A et B comme centres, et avec AB comme rayon, décrivez deux arcs de cercle qui se coupent en C, puis joignez le point C à la seconde division du diamètre, cotte

APPLICATIONS MATHtMATIQUtS.

Fig. 10.

Iii^'iic pidlonycc ira couper la circ-onfoicnce en D, et BI) sera la portion demandée de la circonférence {^g. lo).

Dans la figure on a pris n = 8, ce qui donne l'octogone régulier.

Mais il est important de savoir ({uelle approximation donne ce

procédé, et c'est ce que nous allons chercher. Posons

AMC = «, ACM = fs et DOB = 7.

Dans le triangle MCA on a la proportion

sina iK 1

sinS ~ ~~ aR"" "

car AC =1 2 R = AB ; d'ailleurs 6 = 120 — a, [iuisque A = 60", comme angle du triangle cquilatéial ABC-

Ensuite, comme DMO = r8o — a , le triangle DM0 donne

sin a R i

sin(a — v) ■j^2 2R

On a donc

sin (i 20 — a]

sin ( a — 7 )

En divisant chacjue é(|uation par sin y., on a d'abord I I

sin 1 20 col y. — cos 1 20

donc

Ensuite

sm I 20 =

r.HAPlTRF. OJTATRIEME.

et COS 120 =:

V''3 . cot a + 1 n — 2

et cota =

COS 7 — siny cot x ce qui donne

Va\ réduisant, on a

in7 (« — 4) " — 4 «s/3 ~ «

, ,, 3/2 4- v/«'-*- 16 [n — 2) COS7 = ('^ - 4) ■ 3„,+ (,4),.

Cette formule permet de comparer les valeurs approximatives (lu'elle procure avec les valeurs exactes.

« = 3, exact

A2 = 4 5 exact

«= 5, 7 =: 71" 57' 12' au lieu de 72°

rt = 6 , exact

rt =: 7, 7=r5i 3i, 5 au lieu de 5i° 25' 43'

nlFFEr.ENCES.

rt= f), 7 = 4o 16 4o

APPLICATIONS MATHKMATlQt'F.S. l '?.5

Les tlifforciucs augmcnicnt , (|iioiqu(' très lontemtiit , mais il y aura iino limilo où elles diminueront, car pour /?=: co , cette tliffercnce sera evideniniont nulle. Il est remarquable que cette construction approximative donne d'une manière exacte le triangle équilatéral , le carre et l'hexagone régulier.

Le calcul a été poussé juscpi'au polygone de dix-sept côtés que l'on sait maintenant inscrire exactement; mais la construction qui résulterait des calculs de Gauss serait tellement compliauée, que cette approximation vaudrait encore mieux dans la pratique.

Pour un nombre de divisions « > 8, ce procédé a été modifié de la manière suivante par M. Tempier, sous-directeur des Écoles chrétiennes à IMontpeîlier.

Divisez le diamètre AB en autant de parties égales qu'on veut en avoir sur la circonférence ; des points A et B comme centres et avec AB comme rayon , décrivez deux arcs qui se coupent en C ; ])nis, si le nombre de divisions est égal ou supérieur à 8, joignez le point C à la seconde division du diamètre h partir du centre (cela signifie que l'on prend, à partir du centre, même si n est impair, une longueur égale à deux divisions). Menez donc par le point C deux sécantes passant, l'une CK par le centre 0, l'autre CD par cette deuxième division à partir du centre, l'arc DE = § intercepté par ces deux sécantes est l'arc demandé, égal à peu près à la n'™' partie de la circonférence.

La ^^. lo convient également aux deux constructions, car il est facile de voir que pour « = 8 elles reviennent au même, mais pour toute autre valeur de n elles seraient différentes.

Des calculs analogues à ceux que nous avons faits relativement au procédé de Bion, ont conduit M. Tempier à la formule suiva n te :

Sino rr —-

i «^ -f-iO

Voici les résultats des calculs pour diverses valeurs paires de //; mais, comme nous l'avons observe, ce procède s'applique aussi bien quand n est impair, quoique le centre ne soit pas alors un