DIFFÉRENCES

au lieu de

exact

au lieu de

point de division du diamètre.

On voit que, pour /z ^ 8, ce procédé est préférable à celui de Bion, parce que les erreurs sont plus petites; elles vont même en diminuant au delà d'une certaine limite.

S8. Construction géométrique des expressions algébriques homogènes.

On comprend combien il est important pour vérifier les calculs et concevoir nettement les questions, de construire sur le papier les résultats donnés par l'analyse. Seulement, pour qu'une expression algébrique ait une signification géométrique, il faut qu'elle soit homogène, c'est-à-dire que les quantités contenues, par exemple, dans le numérateur ou le dénominateur d'une fraction soient de même nature, telles que des lignes, des surfaces, des solides, ou, plus généralement , toutes ces quantités doivent être telles , que si dans chacune d'elles on fait la somme des exposants de toutes les lettres, toutes ces sommes soient égales.

On conçoit, en effet, que si l'on demandait d'ajouter une ligne à une surface ou une surface à un solide, cette question n'aurait pas de sens.

APPLICATIONS MATHKMATlyUF.S. t ""J

Il huit encore que le (/ag/r d'uu membre de rt(iiia(iori, ohlenii , comme nous venons de le dire , en luisant la somme de tons les exposants (cenx <ji:i sont en dénominatenr étant considérés comme négatifs), soit égal au degré de l'antre membre; car il serait évidemment impossible d'égaler une ligne à une surface, une surface à un solide, etc.

Or cette condition d'homogénéité n'est pas toujours remplie en apparence dans les expressions algébriques : c'est ce qui arrive si l'on demande de construire x = sin'-a.

En effet, puisque l'on regarde le sinus comme un nombre, i! en résulterait que la longueur .r est égale à un nombre abstrait, ce qui est absurde ; mais il faut comprendre que ./• représente, non pas la longueur cherchée, mais le rapport de cette longueur à l'unité , telle que le mètre.

En général, soit « cette unité; l'équation constructible devient

- = sin^a ou bien x:=asin'a, fi

équation homogène que nous construirons bientôt.

D'après cela, nous voyons que, pour rcfablir l'Iiomngéncitc dans une formule , il suffit de remplacer chaque ligne par son rapport avec l'unité de longueur.

Tous les Traités de Géométrie enseignent à construire j:= s/a'--{-lj-

et X = y a' — b- par un triangle rectangle, x=i — par les triangles

semblables el x z= sjah par les triangles rectangles semblables inscrits dans la demi-circonférence (*). Ces expressions fondamentales permettent de construire les formules les plus compliquées, mais nous nous arrêterons à celles qui sont susceptibles de quelques simplifications particulières.

(*) Pour construire x=z\fâb [b étant la plus pelile des deux lignes), voici une nouvelle méthode, duc à M. Gouzy (de Lausanne). Sur une droite indéfinie, prenez AB =: & et, dans le même sens, AC::^fl; dans le sens opposé, prenez CD := a ; enfin des points C et D comme centres, et avec le rayon a, décrivez des arcs de cercle qui se coupent en O : vous aurez

OA = OB = y/JÎ.

I. Augmenter ou diminuer une ligne e suifunt les puissances du rapport - de deux autres lignes.

11 est d'abord facile de construire r' = <• . - au moyen d'une

quatrième proportionnelle.

^'C " Sur l'un des côtés de l'an-

gle (pielconque O {fig. 1 1 ), prenez OA = a , OB = Z» ; sur l'autre côté OC = c, joignez BC et menez AC parallèle à BC jusqu'à la rencontre de OC en C, il est clair que OC = c' .

^ B A Joignez C B et menez AC"

parallèle à C B jusqu'à la rencontre de OC en C", on aura aussi

OC" = c" = c'~ =

OC

et ainsi de suite.

Fig. M.

Dans cette pren)ière figure , nous avons supposé n'^b; si l'on avait, au contraire, a<^b la construction serait la même, seulement les valeurs c', c",..., diminueraient au lieu d'augmenter.

Si /y = I , cela revient à c/ier-^ cher les puissances de a.