AA'\ ., ,, / AA'\ ^, , , AA

On voit que le contour sera fermé si les coefficients m , u , p et ry sont déterminés d'une manière convenable. Pour y parvenir, ajoutons A A' aux deux termes de cette seconde équation , effectuons les multiplications qu'elle indique et simplifions d'après la première équation; enfin supprimons A A' (jui restera comme facteur commun : nous trouverons

Cette équation de condition est la seule à laquelle soient assujetties les quantités w, //, /? et r/; elles peuvent d'ailleurs être positives ou négatives. On a donc une grande facilité pour répartir les erreurs sur ceux des côtés que l'on suppose soit trop grands, soit trop petits dans les mesures (pie l'on a prises.

Il ftiut voir maintenant comment on deterunne la quantité AA' ainsi que les angles que fait sa direction avec les côtés du polygone. Nous avons le triangle CBA dans lequel nous connaissons l'angle R et les C(')tés CB, AB ; nous j)ouvons donc <ali iilcr !<• rôié C A ainsi que

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losanglcsBCA, CAB. De même, le triangle CDA' donnera le côtéCA' et les angles DCA', CA'D; retranchant de l'angle BCD la somme des angles BCA et DCA', on trouve l'angle ACA', ce qui permet de détern)iner le triangle ACA', où l'on calcule le côté AA' et l'angle CAA' : retranchant de 180 degrés la somme des angles CAA' -+■ CAB, on trouve BAB', ce qui donne la direction de A A' par rapport à AB; on trouvera de même l'angle DA'D', ce qui achève de faire connaître les angles que font avec AA' les côtes du polygone.

Il est facile de voir (juc la correction d'un côté AB sera égale à m AA' divisé par le cosinus de l'angle que fait AB avec AA', puiscpie la correction de sa projection AB' est m AA'.

Ayant ainsi corrigé les longueurs des côlés, on s'en servira pour déterminer par le calcul les trois angles dont on doute le plus, en admettant (pu- le j)olygone soit ramené à être convexe, ce qui est toujours possible, comme on le verra bientôt (*).

Soit, par exemple, le pentagone ABCDE dans lequel on connaît les côtés el les deux angles A , R , il s'agit de trouver les trois autres B , C el D

Joignez EB, AD, vous résoudrez fa- >" eilement les triangles BAE, DAE et, par suite, BOA, DOE; on a donc le quadrilatère BCDO oTi l'on connaît les côtés et l'angle O, ce qui suffit pour le déterujiner. Quel que soit le polygone convexe , on le ramènera au cas précédent, puisque tout sera coimu, excepté h partie où se trouvent les trois angles consécutifs.

Cette méthode peut être utile dans les circonstances où l'on est

( " ) Un polygone convexe de n côtés est déterminé par in — 3 éléments : ici Fon donne les n cotés et n — 3 angles , il en reste donc trois à connaître. Ici nous les avons snpposés consécutifs; mais on les trouverait encore plus facilement si ces angles inconnus étaient, par exemple, les deux conséculifs C etD et l'aiigle opposé A. 11 suffirait de joindre AC, AD; les triangles ABC, AED ont un angle donné compris entre deux côtes aussi connus, on trouvera donc les côtés AC , AD , et comme DC est donné, on obtiendra les •ingles du triangle ACD , ce qui acliùvera de déterminer le polygone.

Al l'I.ir.ATlONS MATlu'MATlyUl.S. I 35

ubiiyr (lo pioiulic los tlirortions avec la hoiissolo , sans pouvoir, «les deux cxtroniiiôs d'une base, viser le même [loiiit éloij^né ; c'est ee qui arrive dans les forêts et surtout dans les mines. Cependant, avant de IVniployer, il (ixut faire une première vérifieation relative à la valeur des angles.

Quand le polygone est convexe , on sait que la somme des angles intérieurs est égale à autant de fois deux angles droits qu'i] y a de côtés, moins doux. La même vérifTcation s'appliquera aussi à un polygone qui présente des angles rentranis.

Kn effet, soit (IDIi (Jig- 21 ) un angle rentrant, on pourri le faire disparaître en joignant CK. De celte manière on ramènera la question à considérer un polygone con vexe dont la somme des angles intérieurs s'obtiendra en déterminant BCE + CEF au moyen des angles observés BCD, CDE et DEF, ce qui est facile , car

et il est clair que BCE-+

180 — CDE = DCR -h CED,

CEF = BCD -H DEF + i8o - CDE.

Mais, en admettant que cette vérification de la somme des angles se fasse avec une exactitude suffisante, ce n'est pas une raison pour que le plan soit fermé sur le papier , et pour ne pas appliipicr la méthode précédente, qui d'ailleurs ne doit être enq)loyée que si l'on réclame une grande précision, car elle peut entraîner dans des calculs assez compliqués. On conçoit , en effet , que si les côtés sont mesurés d'une manière inexacte, le polygone ne sera pas fermé, quoiqu'il n'y ait pas d'erreur sur les angles; il suffît pour cela que le dernier côté soit pris trop grand ou trop pclit, même (piand tous les autres seraient bien mesurés.

Quant à l'évaluation des angles, la boussole donne une vérification partielle à l'extrémité de chaque côté AB, puisque Ks angles NAB, INBA (pio fait un même pôle iN de l'aiguille aimantée , à

chaque bout de la droite que l'on considère , ont une somme évidemment égale à i8o degrés, à cause du parallélisme de l'aiguille dans ces deux positions.

Cette vérification peut quelquefois ne pas se faire aux extrémités de tous les côtés, malgré le soin et l'adresse de l'expérimentateur; cela tient à la présence de masses ferrugineuses qui font un peu dévier la boussole : c'est alors aux angles qui avoisinent ces côtés que l'on doit a[)pliquer la correction à laquelle se rapporte lay?^. 20.

Quand ces déviations sont légères, on se contente de les corriger par la considération de la somme des angles de polygone , au moyen des directions mieux déterminées ; mais , si l'on suppose encore que la nature du terrain rende la mesure des côtés difficile et incertaine, la méthode que nous venons d'exposer, et qui se '•attache à la règle défausse position, permet d'obtenir un phm d'une exactitude suffisante, malgré toutes ces circonstances défavorables.