C -4- p = O -f- a, d'où
Ainsi, pour avoir l'angle elierclie ACB, il faut ajouter à l'angle mesuré AOB la quantité a — p que nous appellerons .r.
11 s'agit maintenant de déterminer les angles a et [ï Désignons par a , b ^ c les longueurs des côtés du triangle ABC et par /• la distance très-petile OC. Dans les triangles AOC et BOC, on a
sin y. sin AOC sin p sin BOC /• b r a
On sait que le sinus d'un arc très-petit ne diffère de l'arc que d'une •[uantité tiès-petite relativement à l'arc lui-même; on peut donc remplacer approximativement sin a et sin (i par les arcs qui mesurent les angles y. et p dans le cercle dont le rayon est l'unité. Si donc a et 3 représentaient ces arcs eux-mêmes en longueur, nous aurions
/ sin AOC , /sin BOC
Mais, en général;, les angles sont donnés, non par des longueurs d'arcs, mais en degrés, minutes et secondes, et quand il s'agit d'arcs très-jKtits, on prend pour unité la seconde. On a vu (jue
l'arc d'une seconde <i une loniiueur ei:ale à
1 W rayon
<"tant égal à Tunile. Comme d'ailleurs un arc aussi petit se confond sensihlement avec son sinus, on |)eut poser
64S000 Or il est clair (pie si un angle est «value «n sicondes , on oliiien
l38 r.lIAPlTRK QUATRIÈME.
tira la valeur île l'arc correspondanl on imillipliaiil ce iioinbii' de secondes parla longueui- de l'are de i", e'est-à-dire par sin i" ; et que, réciproquement, si l'on divise un arc par sin i", ou obtiendra l'unifie correspondant
Nous aurons donc, pour les angles a et [i évalués en secondes,
/sin AOC ^^ / sinBOC b sin i" ' fi sin i"
Ainsi la correction x est donnée par la formide /•sin AOC /sinBOC /; sin i" a sin i"
Les anijies AOC, BOC se mesurent avec le cercle, et il suffit d'en mesurer un, parce que leur différence est éj^ale à l'angle mesure AOB. Cela suppose que l'on puisse établir d'une manière suffisamment précise la direction OC : malgré queKpies difficultés pratiques, on y parvient sans crreui- considérable, à cause de la proximité des points 0 et C. Nous en diious autant pour la détermination de la distance /• = OC.
Enfin , la valeur de x contient aussi les côtés a et h du triangle ABC. Mais nous ferons remanpier (ju'il suffit, pour effectuer la correction, de connaître des valeurs approchées de ces côtés, l'erreur qui eu résulte dans la valeur de x est très- petite par rapport à cette quantité elle-même, et par conséquent négligeable. Or le triangle ABC, que nous considérons, fait partie d'un réseau; le calcul des triangles antérieurs a donné la langueur de l'un au moins des côtés de ce triangle ; d'autre part, deux angles au moins du triangle ont été mesurés en plaçant le cercle à une petite distance des sommets; si l'on adopte provisoirement ces angles non corrigés et si l'on résout le triangle, on en déduira des valeurs approchées des autres côtés, qui suffiront poui' effectuer la correction des angles mesurés. On reconnnencera ensuite la résolution exacte du triangle avec les angles corrigés.
Supposons, par exeuq)le , (pie le calcul des triangles antérieurs ait dunni' la longueur n du côte BC, on aura
<^/ sin B
APPLICATIONS MATIIIÎMATIQITJCS. I 3()
et, Iranspoitant dans la fonmilo pirccclinfc,
/ sin A sin \0C i sin BOC
a sin lî sin i" a sin i"
ou bien
/• /sinAsinAOC . „^^
<■/ Sin I \ sinB
On calculera donc cette valeur de x en se servant des valcnis approchéis des angles du triangle.
La correction relative à l'angle 13, c'est-à-dire la réduction au centre de station si le cercle n'a pas été placé exactement au sommet B , se fera de la même manière.
6ï. Résolution de V équation tt sin ). = 2 j: + sin ix (*\
Cette équation se présente dans la construction des cartes homalo^raphiqucs, cartes dans lesquelles les surfaces des projections de ùiiws. portions quelconques }Hises sur le globe terrestre ont entre elles le même rapport (ju(.' ces poitions elles-mêmes.
Nous allons résoudre cette équation d'une manière approximative, la quantité x étant assez petite pour cpTon puisse négliger les puissances de x au delà d'un certain ordre dans le développement de sin 2.r.
Prenons ce développement jusqu'à la cinquième puissance, ce
qui lait (lue nous ne;j|igeoiis seuleineut — > — rr— ; — i nous
* " I .2.3.4 OD. -j
aurons
, ^.ix^ ^.2>x^
ir sin À = 4 -^ — ^ -1 • .> / V y
ou bien
7r sin I. j x^
(*) Ici / représente la latitiule (l'un lioii de la terre. A l'étiuateur, / =:7 0 ^ et roi) voit qu'alors x est aussi nul. Aux environs tlu pote, 1 z= ç)0 — «7, et l'on i>eut alors poser aussi x = 90 — ï, les quantités S et s étant Irès-pclitcs, rar on a
7T cos 0' = 7t — 2 £ -I- sin 5 £ ,
l'qualion qui dcvieiU une itlunlile p<>ur <? et ; Irés-pclits
l4o CHAPITRE QUATRIÈME.
Nous a'Ions iiiaiiiloiiant , par la iDclliodc inverse des séries , déve-
, ri 71 sin )i ,
lopper j: en lonction de z =r — - — : pour cela remarquons (pie,
si X change de signe , il en est de même pour s ; donc , réeipioquenient, le développement de .v ne doit contenir cpie les puissances impaires de z. On posera donc
.V = Az 4- B3' -1-Cz"',
en s'arrétant encore pour z à la cinquième puissances. Ou voit
,, ... TT sin X . , ,, • .
d ailleurs (jue z = — - — est toujours plus petit (juc 1 unile. Remplaçons >• par cette valeur dans l'expression de z en fonction de ./■, nous aurons
z=:Az-HB Z= + C A^ A-''
Négligeant les termes qui dépassent z-, égalant les termes en z, et supprimant les autres, on obtient la suite d'égalités :
et
On a donc
C2. Résolution de Vcqaalion du truisièiiic dc^rë par ta trigonométrie.
Soit
yi -I- A/' -+- Bj + C = o
l'cquation |)roposée.
On fera d'ahord disparaître le second ternie en posant
ce qui donne
AB
APPIirATTONS MATHKMATIQUKS. l^t
(■(|ii.ilH>ii (|ii(' MOUS rc|irosonl('r()iis par
f|iril s'ayit maintenant de rtsoiulre.
D'un autre côté, soit
on (lomontre en trigonométrie la relation
, 3 sin a
Comme les angles 2 7r-f-a, ^t: -h x ont le même sinus que x , les trois racines de cette équation sont
. a . iTz -h y. . Att -\- u
sin-î sm et sin
mais
27r4-a=37r — (tt — a),
et la seconde racine devient
sm
^ = sin(6oo-|).
De même, comme
la troisième racine devient
— sin — - — = — sm I Do" 4- -
Quoi qu'il en soit, ces trois racines étant réelles, on ne pourra résoudre de cette manière que les équations du troisième degré dont toutes les racines sont réelles.
