PROBLÈMES SUR LES ATTRACTIOIVS
70. I. Nous allons chercher la diminution que la lune peut apporter à la pesanteur d'un corps situé à la surface de la terre, dans les circonstances les plos favorables pour cette diminution, c'est-à-dire quand la lune L est au zénith de ce point M de la terre [fig. 25).
Soient C le centre de la terre, d la distance LC des deux centres, et représentons par L l'attraction de la masse de la lune sur la molécule M , à l'unité de distance: l'attraction à la distance LM =: r/ — '• sera, en représentant par /le rayon de la terre,
(rf-r)''
mais la diminution de la pesanteur due à cette attraction ne sera que
Fig.
V{d—rY d^\
En effet, si le point M était en C, l'attraction de la lune ne l'écarterait pas du centre de la terre, puisque les actions qui s'exercent en C tendent à entraîner la masse entière de la terre. Cette diminution s'exprime encore jiar
APPLICATIONS PHYSIQUES
Mais, comnic - est très-petit, posons
te «lui donne
en néj;ligeant f - Donc
Comparons ce résnltat avec l'attraction - qu'exerce la terre sur
cette même molécule , afin de voir dans quelle proportion le poids d'un corps sera diminué, Tétant de même l'attraction de la terre sur la molécule à l'unité de distance.
Le rapport sera
-JT ■ f ~ ^ ' T ' J'* Or
T~84 ^ ^' ./"~6o en prenant pour rie rayon maximum de la terre, c'est-à-dire le rayon équatorial. Le rapport est donc
42 216000 9072000 Ainsi le poids d'un homme, que l'on peut supposer de 90720 {grammes, sera diminué de
qo'7 2o5
ou bien d'un centigramme ; c'est à peu près /c poids d'un grain de blé.
( *) C'est le nombre le plus récemment adopté pour exprimer le rapport
Il la masse «le lit lujic à colli' di" la ferre.
II. Considérons maintenant /'(7/^rart/ort d'un pôle magnétique B sur un aimant très-petit ab (fig. 26).
Ce petit aimant, supposé mobile, se mettra en ligne droite avec Fig. 26. l'aimant B , de manière que son pôle aus-
tral a soit tourné vers le pôle boréal B. Dans cette position , les forces agissant b I g B dans la direction commune des aimants se
^ retranchent l'une de l'autre, et la résul-
tante est égale à la différence entre l'attraction de B et de « , et la répulsion de B et de è.
Soit /"l'attraction de B et de a, à l'unité de distance; soient OB = d ex Oa = Ob z=z l, quantité très-petite par rapport à f/: l'attraction de B et de «, à la distance Ba := d — /, sera
[d-lf
De même lu répulsion de B et de b , à la dislance Bb = d -\- l, sera
{d-hiy-'
parce que les deux pôles a et b ont la même force magnétique. La résultante sera donc
■^[{d-ir- (r/ + /;J d \ f i y
ÎVous aurons encore
d'après les principes d'approximation ; de même 1 2/
ir if^ste donc
— • -T OU bien r = — r-r/' d d-
\l>l•^u:.\•lI(l^s imiysi^hies. i83
m. Chcrclioiis oiibiiile l'action niutiicllc de deux ninuiitls trèsprtits ^rig. 27).
Ces deux aimants, stipposcs mobiles, s'cinangeront naturelle- Fig. ,-. mentdans une position telle, que deux pôles
de noms contraires se regardent et rpie les aiguilles soient sur une même ligne droite (nous admettrons, comme dans le problème " " précèdent, que les deux aimants sont si-
tués dans le même })lan , qu'on peut supposer horizontal ).
Soit donc 00' =: d {fig. 27 ) la distance des milieux de ces aiguilles, et soient nb=z9.l, a'b'=:7.l' leurs longueurs respectives, qui sont très- petites relativement à d; soit encore /l'action répulsive ou attractive d'un pôle de ah et d'un pôle de a' b', à l'unité de distance; nous indiquerons par F l'attraction résultante, car il est évident que cette résultante sera attractive, puisque les pôles rt et b' qui se regardent sont de noms contraires. Cela posé, les actions dues à b' seront
et celles de n'
[d-h i-hi'Y
{d-hl'
ce qui donne
Frf^
Pour calculer F, on est porté à remplacer, comme on la lait tout à l'heure, une quantité telle que
2(/'-hO.
mais il serait facile de voir, et d'ailleurs nous le vérifierons bientôt, que si Ton opérait de cette manière, tout ce qui a rapport à / et à /' disparaîtrait. Cela tient à ce que, dans le développement rigoureux de toutes ces quantités, les termes de première puissance en / et F se détruiraient, et qu'il faut alors, ainsi qu'on l'a vu dans le n" 1, recourir aux termes de seconde puissance.
Nous poserons donc, par la méthode des coefficients indéterminés ,
ce qui donne
i = ( I -+- 2 £ -1- s- ) ( .\ 4- B£ + Ce ou bien
= A-h Bs + C£%
n trouve
donc
où enfin
et
Si donc Ion pose successivement
on aura
3 (/' -\- ly
2 ( /' -f- /; 3 ( /' -+- ly
/) 3(1'— ly
Ou voit (jue les termes dn premier degré se détruisent , eomnie
APPLICATIONS PllYSIQUKS. I 8'»
nous l'avions annoncé, et qu'il reste, par une première réduction,
et enfin
MOUVEMEi\T DU PENDULE.
71. Soit un pendule simple suspendu en O [fig.iQ), et que l.i„. 28. l'on écarte en OB de la verticale OA pour
le laisser ensuite osciller librement ; soient / le rayon OA de l'arc qu'il décrit , g la ;.'ravité au lieu de la terre où l'on se trouve; enfin soit AD = h la portion de la verticale interceptée par la perpendiculaire BD sur OA. Les Traités de Mécanique donnent la formule suivante pour déterminer le temps T d'une oscillalion, c'est-à-dire l'espace de
temps que met le pendule à tomber du point B pour se relever
de l'autre côté en B' à une hauteur AB' =: AB :
2/ il
Mais si l'arc AB est très-petit , la distance verticale h est elle-
inème très-petite par rapport à 2/; on néglige non-seulement
ses puissances supérieures, mais aussi le rapport — lui-même.
Alors le temps de l'oscillation est sensiblement indépendant de l'arc AB, pourvu que cet arc ne dépasse point 3 ou 4 degrés, et il reste la formule généralement connue
Pour donner un exemple de dcmonstralion .ipproximalive
î86 (UIAPITRK r.INQUlÈMK.
nous rappellerons le raisonnement par leqiiil on arrive à ce résultat si important.
Soit E l'écart total , c'est-à-dire la longueur de l'arc AB , il est facile de voir que
Varc AB pouvant être confondu avec sa corde : cela' tient à ce que, si l'on joint le point B à l'extrémité C du diamètrc^vertical , le triangle CBA est rectangle en B. Soit l'arc AM = c <^E; on aura, à plus forte raison,
AP = -,
«i MP est perpendiculaire sur OA.
Or, quand un mobile tombe sur un plan incliné, hypoténuse d'un triangle ABC rectangle en A (nous n'avons |)oint iiguré ce triangle qu'il est facile de se représenter ) , ce mobile possède, après être arrivé de C en B à l'extrémité de l'hypoténuse a , la même vitesse que s'il était tombé le long du côté vertical CA = ù ; en effet, on sait, par le parallélogranmie des forces, que l'accélération g' dans le mouvement sur l'hypoténuse est diminuée dans le rapport de ce côté vertical h avec a, c'est à-dire que l'on a
Mais, quand le mobile arrive suivant CA, sa vitesse en A est
c = \ligb; <iuaiid il arrive suivant CB , sa vitesse en B est
\'ig'a,
<'c qui montre que
Cela pose, comme l'arc BA et, en général, une ligne quelconcjuc peut être considérée comme une suite de j>lans inclinés , on voir fjue la vitesse du mobile tombant do B en A sera la même que s'il était Jombé de D en A.
VPPMCATIONS l'IlYSIQUKS. I 87
Donc la vitesse de B au point A, c'est-à-dire la vitesse maximum , sera
de même la vitesse de M en A sera
Vf
et celle de B en IVl sera
sriE'—e-]
Cherchons à comparer cette vitesse variable à une vitesse constante.
Soit un cercle de rayon AB = E [Jîg- 29); le mouvement os-
^ cillatoire du pendule pourra être remplacé
par une oscillation de B en B' sur le diamè-
^' tre du nouveau cercle : or je dis que ce
mouvement correspondra à nn mouvement
uniforme sur la demi- circonférence BDB',
avec la vitesse constante E
En effet, soit pris sur la tangente en un point quelconque N, une vitesse mesurée par la distance
sa projection NS sur AB se trouvera de la manière suivante; suit AM = t", M étant le pied de la perpendiculaire abaissée du point N sur AB : nous aurons
