P DH

ipp' =z ^np — -xpp' — 4 np\ pp' =^ ap — ap' ;

ce qui donne enfin

p' p~ fi

Le miroir représenté dans la figure étant convexe, la caustique

est virtuelle. Si le point P était à l'intérieur, on obtiendrait

et la caustique serait réelle

II. Ce système de coordonnées permet donc de construire la • auslique pour une position quelconque du point lumineux. Si

?. tO CHAPITRE «IINQUIEMK.

p = cx:> , (•'cst-à-cliie si les rayons incidents soni parallolos, il reste

Mais, sans avoir recours à ce résultat du calcul, nous démontrerons encore le théorème suivant :

Si des rayons lumineux jjarnllèles à une droite AP [/îg. /^Z) tombent sur un miroir spliérique concave dont MPN est un grand cercle, la ligne caustique correspondante à MNP est répicycloïde intérieure engendrée par un cercle dont le rayon est le quart du rayon de la sphère.

L'cpicvcloïde, conrhc que nous étudierons jdus tard, est engen- <lree par le mouvement d'un point pris sur une circonférence (piand cette circonférence roule sur une autre circonférence. Comme cette rotation peut avoir lieu à l'intérieur ou à l'extérieur de la circonférence fixe, il y a des epicydoïdes intérieiu-es et extérieures.

Considérons un rayon quelconque EB <pu se réfléchit en BG', de manière que l'angle EBA = ABG';soit F le milieu du rayon

AP de la sphère. Du centre A et du rayon AF décrivons un cercle qui coupe AB en D; du milieu C de BD comme centre et du rayon CD -^^ CB, décrivons le cercle mobile indiqué par le ihéorème, et soit G le point où il est coupé par le point lumineux EB :

l'angle DGB sera droit, puisque DB est un diamètre; par conséquent, DG est parallèle à AE ; donc soit la corde de ce cercle DG'= DG, le rayon réfléchi sera B'G, perpendiculaire à DG', puisque l'angle G'BD =: GBD.

Cela posé, le point G' sera sur répicycloïde indiquée, la circonférence mobile de centre C partant du point F que la rotation porte en G'. En effet, l'angle G' BD .=: DBG est complément de l'angle DAE, et, par suite, égal à l'angle FAD. Or, G'BD a pour nif sure, comme angle inscrit, la u)oitié de l'arc G' D, et l'angle au

APPLICATIONS PHYSIQUES. ?, I I

centre FAD a pour mesure l'arc FD ; donc l'arc G' D est égal en longueur à l'arc FD dont le rayon est double, ce qui prouve, en effet, que le point G' parti de F décrit l'épicycloide indiquée. On peut aussi regarder cette épicycloïde comme engendrée extérieurement par la révolution du cercle C autour du cercle AD.

Pour achever de faire voir que cette courbe est le lieu géométrique des intersections consécutives des rayons réfléchis, il faut encore prouver que la droite BG' est tangente en B' à l'épicycloide : pour cela, il suffit d'observer que le cercle C roulant sans glisser sur le cercle AD, la ligne DG' peut être considérée comme le rayon d'un cercle de centre D et avec lequel est décrit l'élément G' de la courbe; donc DG' est une normale, et, par suite, BG' une tangente à cette courbe.

On voit d'ailleurs que F est le foyer principal du miroir.