MESURE DE LA PROFONDEUR D'UN PUITS
7S. Nous terminerons ce chapitre par une nouvelle application de nos principes d'approximation à un problème relatif à la fois à la pesanteur et à l'acoustique, et dont voici l'énoncé.
On a laissé tomber une pierre au fond d'un puits; au bout de n secondes on entend le bruit de la chute : on demande la profondeur du puits.
La vitesse de propagation du son dans l'air est
/p = 333'"Vn- ^^ a étant le coefficient de dilatation de l'air que nous avons déjà exprimé par - — : ainsi, cette vitesse sera 333 mètres à o degré, et à 3oo
peu près 339 mètres à 1 o degrés. La pression atmosphérique ne figure point dans cette formule, parce que, d'après la loi de Mariette , elle fait varier la densité de l'air dans la même proportion que son élasticité.
La formule
212 CHAPITEE OlNQUItMK,
donne
/ae
pour le temps <lr !;• chute. D'ailleurs le son parcourant i mètie
nntle — ■> parcourr P
en une fraction de seconde -, parcourra e en -; donc
ce qui donne
et l'on obtient l'ecjuation
(•'' — 1 tip \ri-\ ) -\- "'/>' ^^^ ^•
Comme n''p'^o, on voit que les deux racines sont de même signe et, par conséquent, positives; cependant, de ces deux racines qui se présentent sous la forme
il est clair qu'une seule convient à la question , et je dis que c'est celle dans laquelle le radical est pris négativement. En effet , si l'on prenait le signe positif, on trouverait e'^pn : or, si l'on avait seulement e=pn, il en résulterait, d'après l'équation
t / — de la chu
que le temps t / — de la chute du corps devrait être nul ; donc,
à plus forte raison, l'on ne peut avoir e'^ pn, et la valeur cherchée est
D'après la formule que nous avons posée pour la vitesse de propagation du son , il est facile de voir que, dans les circonstances
AHPtir.AlltlSS PlIVSlMUhS. 21 3
ordinaires de lenii)Oialun' , un peut [ireiidrc , sans cneui sensible ,
/?= 340 mètres.
Knsiiite on sait (jue g = 9'" ,8088 à Paris ; on pont <lonc prendre , à une nnite près ,
et la formule devient
Maintenant nous allons la simplifier par les méthodes connues d'approximation.
Nous avons trouvé (27) le développement, par le binôme de
Newton, de la quantité (i -+- e)' , où e est supposé suffisamment petit : calculons les trois premières puissances de e, et même la quatrième, afin d'avoir une évaluation de l'erreur; nous trouverons
le I / I
jriTr-
ce qui donne
* 2 8 ib 128
Nous pouvons transformer le radical de la manière suivante :
V^( 34 )' -+- 34 . 2« = 34 4/ 1 -h II = 34 y'"
en posant
Remplaçant donc c pur cette valeur, nous avons
ai4 CHAPITRE CINQUIÈME. — APPLICATIONS PHYSIQUES.
Effaçant donc les termes qui se détruisent , on trouve
,2.34 2.(34r ■ 8.(34)^ Si nous négligeons le dernier terme, i! reste
et nous nous arrêterons à cette formule approximative, très- facile
à calculer, car il suffit, pour avoir la correction 7ry-i de multi-
n plier 5 «^ par 5-7-
Ainsi rt = 3 donne
<' = 4' mètres; « =: 5 donne
e =: icj mètres.
Ces résultats s'approchent , à i mètre près, de ceux qui seraient donnés par la formule rigoureuse
C'est une approximation plus grande qu'on ne pourrait l'attendre du dernier terme négligé
cela tient à ce que l'erreur commise en supprimant ce terme est opposée à celle que l'on fait quand on pose
On comprend du reste que la formule rigoureuse elle-même ne peut donner qu'une appréciation grossière, à cause de la difficulté d'évaluer/;), mais surtout parce qu'il est impossible de mesurer le temps d'une manière suffisamment exacte pour connaître avec précision la profondeur cherchée.
(iiAirmi siMiMC. — iNTi ni'iii \ I IONS.
CII/VIMTHI' Vl.
I>TKRl>0LAT10>iS.
70. Si Ton donne' n -+- i valeurs .»•„ , x, , .r. , . . . , >„ d'une variable .r, et les valeurs correspondantes )o, j) i , 72,. . ., yn d'une fonction y de cette variable, on appelle interpolation toute méthode capable de faire connaître les valeurs de y cpii correspondent à d'autres valeurs de.r, comprises entre .r^, et .i\. On conçoit, en effet, que ces /? + i données seraient insuffisantes pour déterminer y au delà oh en deçà de cet intervalle, surtout si l'on ignorait la forme analytique de la fonction , comme cela arrive dans beaucoup de questions pratiques : ainsi nous ne connaissons point la nature de la relation qui existe entre la température et la force élastique de la vapeur.
Cependant quand on ne sait point déterminer analytiquement v au moyen de jt , on peut généralement représenter cette fonction par une équation empirique. On a recours d'ordinaire à la méthode des coefficients indéterminés , c'est-à-dire que l'on pose
y :=! n -\- b X -\- ex- -I- . . . .
Les coefficients a, b, c,. . . peuvent être en nombre « -f- i , et se trouveront au moyen des n -+- i valeurs connues de > ; mais cette méthode ne sera véritablement avantageuse que si l'on peut se contenter d'un petit nombre de termes. C'est ce que l'on reconnaît «juand les coefficients décroissent rapidement , et quand on arrive promptement à un coefficient assez petit pour que l'on puisse négliger les termes suivants.
77. Nous choisirons , comme cxeniple très-simple, le calcul de la longueur de l'année.
La longueur /n de l'.mnee uif)venrie se presenleia en l'an 236o,
2l6 CHAPITRE SIXIÈME.
c'est-à-dire 23,6 siècles après J.-C. , mais nous prendrons cette époque pour point de départ.
L'année maximum , de longueur m 4- 38", a eu lieu en 3o4o avant J.-C. , ce qui fait 54 siècles avant l'origine.
L'année minimum, de longueur m — 38", aura lieu en l'an 7600, ou bien Sa ,4 siècles après l'origine.
Donc , depuis les temps historiques, l'année est m -\- y, c'est-àdire qu'elle a un excès y sur l'année moyenne, mais cet excès va toujours en diminuant.
Pour l'époque d'Hipparque, qui vivait en i4o avant J.-C, ou bien aS siècles avant l'origine , on trouve à peu près
Pour l'an 1800, ce qui fait 5,6 siècles avant l'origine, on a trouvé
D'après cela , on demande le développement de y suivant les puissances de x , nombre de siècles.
Nous verrons bientôt que l'on peut se contenter de deux coefficients, ce qui permet de poser
r = Aor H- B x-, car il est clair que
r = o donne j = o ,
puisque la variation y est nulle à l'origine ; mais , pour déterminer A et B , nous prendrons les deux limites extrêmes , afin d'embrasser toute l'étendue de la série.
Substituant donc , dans l'équation
j>- = A .r -h B X-, les valeurs
a7o = — 54. 7o=38 et ar„:=52,4, j„= — 38, nous aurons deux équations de condition qui nous donneront
La petitesse de ce dernier coefficient nous dispense d'en calculei
INTERPOI-ATIONS. 2 1 7
d'autres , et nous avons
r = — 0 , 7 1 4tj I .X — o , 000202 . r- .
D'ailleurs nous j)Ouvons vérifier les deux observations intermédiaires dont nous n'avons point fait usage : ainsi
x-=z — 5,6 donne j^' = 3,99 au lieu de 4» et
x=^ — 25 donne j=r 17,639 au lieu de 18.
Cherchons ce qui aura lieu en 1900 : pour cette année, .= -4,6
puisqu'il se sera écoulé un siècle depuis 1800, nous trouvons
alors
j = 3",283, ou simplement
78. Cherchons maintenant, par un développement d'une nature un peu différente, la variation du rayon de la terre suivant les diverses latitudes.
Soit R le rayon équatorial qui est maximum, comme on le sait, et soit r le rayon de la terre à une latitude quelconque >. , je dis que l'on peut, pour une première approximation, poser
r = R ( I — — !— sin'X \ 3oo
formule empirique déterminée d'après l'aplatissement connu de la
terre , qui est égal à -5 — au pôle , pour lequel X = 90" : on prend
le carré du sinus , parce que cet aplatissement est le même pour ±90°, puisque la terre est une surface de révolution.
Mais cette formule serait insuffisante , et il faut ajouter au coefficient de R (ou en retrancher, s'il y a lieu) une quantité dépendant d'une observation faite , pour plus de sûreté , à égale dislance entre o et 90 degrés, c'est-à-dire à 45 degrés. Je dis que nous pourrons tenir com[)to de l'observation faite rn ce point, si nous
2l8 CHAPITRE SIXIKMK.
introduisons dans la formule (|ui c^t jus(prà prcsoiU /•=r R ( I — e sin-), )
( ici c = - — 1 1 un terme de la forme t' sin^a \ , car sin 2 a sera \ 3oo /
évidemment nul pour a ■= o et pour À = go", circonstances dans
lesquelles ce nouveau terme ne doit pas influer. Nous aurons
donc
