R (i — à sin- A H- s' sin
Pour obtenir une troisième approximation, nous prendrons encore , à des distances égales entre o et 45 degrés , entre 45 et 90 degrés, les arcs de 22" | et de 67° | , ce qui nous conduirait à ajouter un terme de la forme e" sin^4^ H"' serait nul pour o, 90 et 45 degrés. Mais il y aurait cet inconvénient, que ce terme donnerait la même correction pour 22° y que pour 67° | : soit t'" la correction donnje par l'expérience pour 22° |; soit e'* la correction analogue pour 67° ~ : nous trouverons diverses manières d'avoir égard à la différence de e'" et de s'^.
Nous pourrons ajotiter un terme de la forme
sin'4^'£"' [1 4- I'^ sin- ( X — 22" -j)], K étant un facteur tel , que pour
le coefficient
£"'[i -f- Ksin^(> — 22"!)]
soit égal à s'^. i\ous devons donc poser
£'^- = K £'" sin- (X — 22"^) H- e'" :
alors, puisque
il reste
> — 22°i-~45° et sin=45'' = -'
d'où l'on tire
■^- = K - + :'" et K = -^ rr,
ce qui donne enfin
/•=R <i— ssin'A-+-e'sin'2A+E"'sin'4"'' H ,„ ^ sin'(X— 22°|) J-
On j3eut encore prendre une moyenne entre s'" et £'", en la re-
ardant, sauf correction, comme la valeur e" dont nous avons
parle. Cherchons donc ù ajouter à cette moyenne - ( e"'+ h'^) une
quantité qui soit égale et de signe contraire pour 22° -j- et ô-j^y. On y parviendra en ajoutant une quantité ç cos 2 > , parce que 1 = 22° Y donnera
cos 2.\ = cos 45° = -j= :
au contraire , si X = 67° | ,
Maintenant il faut déterminer le facteur if , de manière que la quantité
-(e"^ 4. £!▼)-+. «,coS2X
se réduise à e'" pour
et à e'^ pour
Nous devons donc poser
ce qui donne
ou bien
Il est facile de voir que cette valeur remplit, en effet, l'autre condition indiquée.
J\oiis aurons donc
^=R)i— £?in= ).-+-£' sin- 2), -f-sin=4)
rii^
quelle que soit la formule que l'on choisisse on se contente généralement de ces trois corrections
On déterminerait par des formules analogues les variations de la pesanteur du pôle à l'équateur.
79. Le méridien terrestre n'est pas précisément une ellipse , mais la différence est peu considérable.
Voici un problème accessoire qui peut nous éclairer sur sa forme. Cherchons en quel point M de ce méridien, suppose elliptique , l'angle S du rayon central et de la normale sera maximum. Soient MT la tangente en M (/g-. 44) > «t ON parallèle à cette tangente ; on sait que OM et ON forment un système de diamètres conjugués et le triangle MOP est rectangle. Donc le maximum de S correspond au nimimum de MOP, c'est-à-dire au maximum de l'angle obtus MON de deux diamètres conjugués, ce qui a lieu quand ces diamètres sont égaux.
Puisque le problème est résolu par les diamètres égaux , ces diamètres sont également inclinés sur le grand axe; par conséquent, langle
« = NOC = ROP, ce qui donne
f ~lr-h = 90",
^ étant l'angle du grand axe et de la normale. Alors
0 r=: \|< — ïï- == go" — 2w,
OU bien
Mais on sait que, pour les diamètres conjugués égaux ,
tang^ =: -1
rapport (lu petit axe au grand axe «lo l'ellipse, et «onimc le méridien cllipliqiu' de la terre donne
a 3oo 3oo
on trouve
tp = ^4"54'i5" et o = ii'3o".
De plus, la figure montre que o est complément de M0P=:2v; or
a inb
tang 19 = j-, = — ;- ?
ce qui donne
tang<^ =r— T'
valeur qui peut servir à vérifier la précédente (*).
80. La question que nous avons résolne relativement à la forme du méridien de la terre nous fait voir de quelle extension est susceptible la méthode des coefficients indéterminés. On ne se borne pas toujours à développer une fonction suivant les puissances successives d'une variable , on introduit souvent des lignes trigonométriques ; quelquefois même les quantités indéterminées sont des exposants. Par exemple, le méridien terrestre ne pouvant se représenter exactement par une ellipse dont l'équation serait
a' 0^ on altère légèrement l'un des exposants et l'équation
(*) 11 serait facile d'arriver au mônic résultat par le calcul, mais nous avons préféré cette démonstration géonictriquc, qui nous a été communiquée par M. G. Fourcade-Prunet.
222 CHAPITRE SIXIEMK.
peut représenter suffisamment le méridien quand on détermine a et h d'une manière convenable.
Mais surtout on fait un usage fréquent des sinus et cosinus des arcs multiples, ainsi qu'on vient de le voir. Supposons, pour fixer les idées , que l'on demande de représenter par une courbe empirique la marche des températures pendant une journée. Les abscisses re|)rcsenferorit le temps, c'est-à-dire les heures de la journée depuis le moment le plus froid ( entre trois et quatre heures du matin) jusqu'à la même heure du lendemain, et les ordonnées perpendiculaires seront l'excès de la température sur cette température minimum. D'après cela, il est facile de voir que la courbe se composera d'une suite d'arceaux dont chacun aura pour base, sur Taxe des abscisses, un intervalle représentant vingt-quatre heures.
Nous sommes donc portés à chercher, pour représenter la loi des températures, une courbe formée aussi d'une série d'arceaux consécutifs et tous égaux entre eux : telle est la sinusoïde dont l'équation est
y =r sin .7- ;
maintenant il faut voir comment on pourra modifier cette equation pour qu'elle s'accorde avec l'expérience (*).
D'abord le maximum do la température ne correspondrait pas exactement, avec des coordonnées perpendiculaires, au milieu de l'intervalle compi'is entre les extrémités d'un arceau, mais à 2 heures du soir à peu près; on aura égard à cette irrégularité en convenant que, dans l'équation
y = sinjc,
les ordonnées ne seront point perpendiculaires aux abscisses,
(" ) La base qui indique 24 heures correspond à l'arc x = ;t, dans l'équation j = sinar : soit donc t le nombre d'heures; la valeur correspondante de X sera donnée par la proportion
doù l'on tire
INTtKPOLATlOITS. * 22.3
mais inclinées t'onvenableniciit [)oiii' satisfaire à la (.ondition énoniée(*). De plus, on donnera au seeoiul membre im eoeffîeient indélermine m , et Ion posera
r = m sin ,r ;
ici rn = -. — :, en appelant 0 Tancle des nouvelles ordon-
sin(9 — a) " ^
nées avec les abscisses, et a l'anj^lc de la tangente à l'origine. Si cela ne suflit point pour rendre compte des phénomènes, on ajoutera des termes contenant les sinus des arcs multiples, affectés d'autres coefficients, en prenant, par exemple, des multiples doubles les uns des autres, c'est-à-dire w' sin 2 ar, m"?,\n^x,. . . . Enfin , Ton peut aussi , comme on l'a fait relativement à la forme de la terre, employer les carrés de ces mêmes sinus : en un mot, on cherchera, dans toutes les questions, ;\ traduire les phénomènes physiques le plus exactement possible par la formule la plus simple possible.
8i. Si le problème est purement graphique, c'est-à-dire si l'on donne sur le papier un certain nombre de points qu'il faut réunir par une courbe continue, on y j)arviendra au moyen d'une série de circonférences convenablement tracées.
Imaginons quatre points d'une courbe O, A., B, C , il faut tracer cette courbe dans l'intervalle compris entre ces quatre points; le problème aura quelque chose d'indéterminé comme toutes les questions d'interpolation, mais il pourra néanmoins se résoudre avec une approximation suffisante, si les points donnes ne sont pas trop écartes les uns des autres (on s'est dispensé de tracer la
( " ) Il suffira de prendre Taxe des y parallèle à la droite qui joint le milieu de la base avec le sommet de l'arceau , où la tangente est parallèle à la base. Pour cela , on se guidera sur le tracé empirique de la courbe, que l'on connaît d'avance, car nous cherchons seulement une équation qui puisse reproduire cette courbe. On se rappellera cependant que les abscisses qui représentent les heures ou les arcs correspondants se rapportent aux ordonnées perpendiculaires qui servent à consUuire la courbe : cette courbe étant construite donne la valeur des ordonnées obliques (jiii servent à établir l'équation
j =z 1)1 sin X.
224 CHAPITRK SIXIÈME.
figure qui n'est point nécessaire pour l'intelligence de la construction).
Faisons passer par les trois premiers points O, A, B une circonférence dont le centre est en H ; de même, par les points A, B et C, nous ferons passer une autre circonférence de centre H'. Alors nous pourrons déterminer la portion de courbe comprise entre les points A etB, communs à ces deux circonférences; en effet, soit ON une abscisse qui correspond à cet intervalle, soient NM, NM' les ordonnées correspondantes dans les cercles de centre H et H', nous prendrons pour ordonnée de la courbe la moyenne
j = - (N1\H-NM').
On déterminera de même les points compris entre O et A en comparant au cercle de centre U une autre circonférence passant par 0, A et C. Enfin, on trouvera la portion de courbe comprise entre B et C, en comparant au cercle de centre H' une autre circonférence passant par O, B et C.
82. Mais d'ordinaire la question est posée analytiquement, et Ton donne les points O, A, B, C, etc., par les valeurs numériques de leurs abscisses et de leurs ordonnées.
Alors il s'agit de faire passer par ces points une courbe qui remplace la courbe cherchée , du moins dans cet intervalle.
La nature de cette courbe approximative est essentiellement indéterminée; cependant on doit la choisir avec discernement, mais il faut surtout que son équation présente assez de coefficients indéterminés pour que l'on puisse satisfaire à toutes les conditions exigées. Aussi cette courbe a d'ordinaire une équation parabolique , c'est-à-dire de la forme suivante :
>- = « H- 6x -t- cx^ H- . . . .
Le nombre des coefficients indéterminés a, b, c, . . . est égal au nombre des points donnés, et, par conséquent, des équations de condition. Cela nous ramène à ce que nous avons vu dans les n"* 76 et 77, mais nous nous proposons maintenant de donner une méthode simple et facile pour déterminer ces inconnues, quel
INTERPOLATIONS. λ.a3
qu'en soit le iu»inl)re. >'«»iis v parviendions eu usolviint d'une manière générale les é(|uations du premier degré à un nombre quelconque d'inconnues, par la théorie des flétrn/iinnnls [*).
83. I. Une fonction de plusieurs lettres est ^r/weV/vV/wc quand elle izarde sa valeur si Ton chantre une de ces lettres en une autre, et réciproquement, comme, par exemple, « en Z» et ^ en a, sans toucher aux autres lettres.
Si cette fonction préscnle plusieurs fois la même lettre avec des accents ou des indices différents , pour indiquer des quantités distinctes, mais analogues, comme a, a', a", . . ., et 6, b', b" ,. . ., il faut comprendre que toutes les lettres a se changent dans les lettres correspondantes b, et réciproquement, en gardant leurs accents ou leurs indices.
Par exemple,
nb' -'r a' b
est une fonction symétricpie, parce <|ue , si l'on fait le changement indique, elle devient
ba' -\- b' a , et, par conséquent, n'est pas altérée.
II. Si le changement que nous venons d'indiquer laissait à la fonction sa valeur niunérique, mais changeait son signe, on dirait que la fonction est alternée.
Par exemple
ab — /?' b
est une fonction alternée, car elle devient, par cette transformation,
hn' — h' n;
elle garde donc sa valeur numérique , mais elle change de signe.
ni. Parmi les fonctions alternées, nous considérerons les Hcterminants , dont nous allons montrer la formation.
Prenons le produit de n lettres, a ^ b, c,. . ., dans lequel cha-
(*) On trouvera dans le Prcgiawme de MM. Geiono et Rognotdos notion? plus étendues sur les déterminants; mais pour approfondir celte importante théorie , il faut consulter l'ouxrage spécial de M. Brioschi.
22b CHAPITRE SIXIEME.
cune de ces lettres ait un indice différent, ce qui donnera le produit ab' c" . . . , où la dernière lettre aura l'indice n — i : dans ce produit, faisons alterner ômn-a. lettres seulement, telles que b etc; c'est-à-dire changeons b enc, et réciproquement r en ^, et en même temps changeons le signe de ce terme, ce qui donne
— ac'b".. ..
Ensuite , faisons dans le terme que nous venons d'obtenir la même opération entre deux auties lettres, en changeant encore son signe, ce qui le fera redevenir positif, de négatif qu'on l'avait rendu précédemment ; en continuant ainsi jusqu'à ce que l'on retombe nécessairement sur un terme déjà obtenu, on trouve le déterminant de n lettres.
Il est facile de voir que cela revient, sauf les changements de signe, à faire une permutation tournante entre ces n lettres. On dit qu'il y a permutation tournante entre plusieurs lettres quand on change la première dans la seconde , la seconde dans la troisième, etc., et enfin la dernière dans la première, en faisant aussi les changements. réciproques.
IT. Pour conduire l'opération avec ordre et être sur de ne négliger aucun terme, voici la méthode que l'on peut suivre- Prenons une lettre quelconques, et considérons d'abord les termes où elle figure sans accent; on les obtiendra en mettant» comme facteur d'une suite de termes où figureront les « — i autres lettres alternées deux à deiix suivant la loi précédente, ce qui donnera précisément, d'après la définition précédente, le déterminant de ces « — I lettres. Seulement, comme le facteur a n'a pas d'accent, il faut qu'il y ait des accents à toutes les lettres de ce déterminant : nous l'indiquerons par la lettre A, qui montre que a n'y entre pas, et qui, n'ayant pas d'accent, fait voir aussi qu'il y en a sur toutes les lettres qui s'y trouvent.
Nous écrirons ensuite un terme ayant a' pour coefficient du déterminant A' des n — i mêmes lettres, seulement ce sera ici l'accent prime qui ne s'y trouvera point. On aura de même le terme a"A",..., et enfin le déterminant de n lettres sera
D =:3A -j- fl'A'-F a" A." -^. . .-!-«(''-') A'"-'/.
INTKRPOI.ATKmS.
ISIais il rst clitir tiu"»»!! jioiirrait tout aussi bit-n ji(is<'i- U = 6B -t- b'B' -\- //'B"h-. . , D = cC + c' C -)- c" C" -h. . .,
en désignant par B, B', B", . . ., et C, C, C", . . ., des quantités analogues à A, A', A", ....
Cependant, il faut faire une observation très-importante sur la formation des quantités A, A', A", . . ., relativement aux signes des termes qui les composent. On peut écrire la première A en prenant à volonté le. signe de son premier terme, d'où l'on sait conclure celui de tous les autres , mais il faut en tirer aussi les signes des termes de A', A' , .... Pour avoir, par exemple, ceux de A', prenons \\n terme quelconque de a A et faisons dans ce terme la permutation alternée entre a et celle des lettres qui porte l'accent prime , en changeant le signe, comme il faut toujours le faire; nous aurons ainsi un ternie de a' A' avec son signe, ce qui donnera celui de tous les autres. On en fera autant pour a" A" , et ainsi de suite.
V. Les déterminants jouissent d'une propriété dont nous verrons bientôt une application très-utile : c'est que, si Ion change une première lettre dans une seconde sans faire la réciproque, c'est-à-dire sans changer aussi cette seconde lettre dansla première, tedétcrminant deviendra nul. En effet, considérons, par exemple, les deux lettres b et c; on sait ((n'en les faisant alterner dans un terme quelconque , tel que a b' c", on obtient
— ne' b" :
mais si l'on change b en c sans faire la réciproque, on obtiendra
ce qui se réduira à zéro; il en sera de même, d'après la formation
du déterminant, pour les autres termes considères deux à deux (*).
