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allons cliercher celui de trois leltros, eliKuis juciulions ^/A'r' pmir

premier terme; il est clair que

\z=b'c" — c'h", ce qui conduit à poser

A' = rb" — b(" et A" = /V — cb' :

la règle que nous avons posée revient à observer qu'une même lettre avec un même accent, telle que b" , après avoir été placée dans un terme négatif, doit ensuite se trouver dans un terme positif. Le déterminant cherché sera donc

T) — ni b'c" — c' b" ) + a' [cb" — bc" ) -\- a" { bc' — cb' ) ou bien

D = ab' c." — ac' b' -\- a rb" — a bc" + a" bc' — a" cb' , valeur alternée en o, b et c

VII. Il nous reste à voir comment cette théorie s'applique à la résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues.

Soient

n équations du premier degié à« inconnues.

Formons le déterminant D des n coefficients des inconnues (on voit que //, A', h" . . .h'"—^^ n'y entrent point) (*). Ensuite, multiplions la première équation , où les lettres n'ont pas d'accent, par le déterminant A des n — i lettres b. c. . . formé comme nous l'avons vu : de même nous multiplierons la seconde équation par

('■ ) Ce dcterniinant serait le incme si les premiers nieivihres des éi|uatioiie »l:uenl

ax -J- a' y -+- J-" z -i- . . . , bx -+- h' y -H i"2 -H. . . , ex -+- c' ?■ -f- c" s -+- . . ,

A', la froisième [lar A", . . . , et enfin la clerniùrc par A*""" ; nous savons comment se forment toutes ces quantités.

Cela posé, faisons la somme do tous les produits precciieuts : le ■coefficient de x dans l'équation ainsi obtenue sera justement

Quant aux coefficients des autres inconnues, lisseront nuls. Km l'ffet, le coefficient de >, qui sera , con)me on le voit,

ne contiendra point les lettres «, fl',«", . . .,etil est facile de remarquer que ce sera le dét<.>rminant D dans lequel on aura changé les lettres a en lettres 6, sans faire la réciproque; donc le résultat cs'i nul, d'après ce qu'on a vu. Il en sera de même pour les coefficients <les autres inconnues, ce qui donne

D.r = A A -f- // A' + h" M' -h ... -H /iC'"'^ A^"-'' et

A A + h' A' 4- ^" A" 4- ... + AC— ) A^"-' ) . =

On aura de même

/iB -+- //'B'4- Z/'B" -H ... 4- /*("-'■ B("-'

et ainsi de suite.

84. I. Revenons maintenant au ])roblème (jue nous avons déjà traité par une méthode graphique et (jui consiste à faire passer une tourbe par quatre points donnés, les coordonnées de ces points étant (y,r'), (■î^",j"), [x"\y"') et le quatrième point étant l'origine des coordonnées.

Nous pouvons prendre pour joindre ces ([uatre points la conique qui a pour équatio^i

ce qui donne les équations de condition

y 4- M.r" 4- N/' 4- Pi-' = o, y'"' 4- M ï"- 4- N/" 4- P.r" = o ,

23o CHAPITRE SIXIÈME.

entre lesquelles nous oliiiiinerons par la méthode des déterminants les quantités M, N et P.

Le déterminant D aura pour valeur

et nous trouverons M, N et P par les relations

.> V'-^' (./"- j") +y"'ï^"{y'-y") -^j"y'^"'{y"-y') + MD = o,

■r'" x" y'' [x" — x'" ) -^ x"'x'y" (x"' — x') -H x" x'y^x' — x") + ?iD = O,

r"'x"x'^{y" -y'")^y"'y'x"^ (/"-/) + j"/-^"" (j' ~ f ) + PD = O.