II. Si l'on pose

y = Mjc + ]N.r.-'+ ^x\ on trouve

D -— x'" x" x' [ x" x" ( x"' — x" ) H- x"' x'{x' — x'" ) + x" x' [x" — x')], MD=.r"'.r"'.r'-(.r" ~x') -^y" x'"' x" [x' — x'") +y' x""x"'' {x'" — x"), ND -hy'"x"x' (x"-'—x'')-\-y"x"'x'(x" — x'"') -^ y' x'" x" {x"'^—x"') = o, PD =y"'x"x' [x" — x') +y"x"'x' {x' — x'" ) -\- y' x'" x" [x"' — x").

80. Jusqu'à présent nous avons cherché par la géométrie ou le calcul le trace ou l'équation d'une courbe capable de passer par un certain nombre de points déterminés, ou bien, ce qui revient au même, de représenter une certaine série d'observations. Nousallons maintenant reprendre le problème de l'interpolation à un point de vue purement analytique, et en admettant, pour obtenir des formules plus simples, que les valeurs successives de la variable indépendante forment une progression arithmétique : nous parviendrons à des résultats très-importants pour la résolution des équations algébriques et transcendantes.

Supposons donc que la différence entre deux valeurs consécutives de la série des n -f i quanlités'ar„ , Xi, x^, . . . , Xn, soit constante et représentée par

nous aurons

X| = Xo -t- A-*', X2 =: .r, -f- A J7= ,r„+ 2 Ao;,

et ainsi de suite j enfin

.r„=r x^-\- n Ax.

INTERPOLATIONS. ^3 r

î! nous faut niaiiitfnant cliulier les variations correspondantes ilc la fonction j'.

Les rt +1 valeuis correspondantes de / seront j„, j, ,>,,..., j>„, mais les différences de deux valeurs consécutives ne seront pas égales pour la fonction comme elles l'étaient pour la variable indépendante , et nous aurons

r. — jo = A j, y 3 — .>'-'= ^y

Ar, — A ju = A' jo r, — J, = A>-, A-'j. — A'>-„= A'j„

Aj, — A r, — A'j,

J„— r„, =r Aj„,.

Les différences entre les valeurs consécutives de la variable sont les différences premières , celles qui existent entre ces différences premières sont les différences secondes (.[ui donnent lieu elles-mêmes aux différences troisièmes , et ainsi de suite.

Nous allons chercher d'abord à exprimer la dernière valeur j„ de la fonction au moyen de la première j„ et des différences de divers ordres de cette quantité j,.

Nous avons d'abord

.> I = Jo + à,j\ , ensuite r.= J, + Vi ; mais

comme on le voit eu prenant les différences de l'équation précédente : remplaçons donc ) , et Aj, par leurs valeurs, il reste