Jo -h 2 A.J„-h A-Jo

Nous aurons de même

y i= >':!■+■ ^Ji ■'

mais

A/j = Aj'o -l- 2 à\ra -+■ A' Jo ,

ce ([ui donnera

r,= ro-{- 3 àj„-h 3 AV,,+ A-'.),, et ainsi de suile.

On .iirivcrait donc à la formule générale

L'analogie de cette formule avec le développement du binôme permet de l'écrire sous la forme symbolitpie

j«=ro(i-+-A)«,

dans laqe.elle , après le développement, toutes les puissances de A deviendront des indices.

Si la fonction y est un polynôme de degré m, je dis (jue A^r sera une constante et que toutes les différences d'ordre supérieur seront n(dies. Remarquons d'abord que la seconde partie de cette proposition est une conséquence évidente de la première, car si les différences d'un certain ordre sont constantes, on aura des résultats égaux à zéro, en les retranchant les uns des autres.

Soit donc

jy = A .r"' ■+- A I x"''~ ' -f~ . . .

ce polynôme ordonne suivant les puissances décroissantes de x^ et considérons spécialement le terme de plus haut exposant Ax"'. La différence première de ce terme sera

a[x -\- ^x)"' — kx"' =z Pl\ uix"'~' LS.X -\ ^ x"'~' [Ax)'

ni (ni — i)ini — 2 ) ^ - Ll : -fj"

ou bien

m Ax"'~' A j; + . . . ,

en s'arrêtant au terme en A.r, qui contient la plus haute puissance de X.

La différence de cette première différence ou bien la différence seconde de A.r" sera

m A [x -\- Ax /""^ Ax — m A x"'~' A.r =z Am ( m — I ) X"'—- ( A .r )' -|- . . . ,

en s'arrêtant au terme en (Ajt)-.

De même, le terme de pins haute puissance en x dans la diffé-

INTKRPOIATIONS. ^33

rciicc troisième sera

Ani [m — i) (/» — 2) j?™-' (Ax)',

et ainsi de suite pour les autres clifftn-ences : on voit que le calcul se fait comme pour prendre les dérivées, et que l'exposant de àx augmente d'une unité à chaque opération. On a donc en général , pour « <C '" ■>

A". Aj:"'= X/u {m — i) {m — 2). . .(m — /i -hi)x"'-" (Aj:)"-f- ...

et enfin , pour n = m , on trouve

quantité constante, comme nous l'avions annoncé, les termes suivants étant nuls.

Il est facile de voir que les termes de puissance inférieure Ax"'~' . . . cessent de donner des différences avant le terme Ax'"; c'est pour- (pioi nous ne nous sommes préoccupés que de celui-ci.

En nous arrêtant donc à cette différence constante A^j ,, quand, au contraire ,/«<[/?, nous avons

Y„ = y\-\-n A Vo ^^ — ^ '- A^r„ + . . .

Mais si nous simplifions ce résultat au moyen de h valeur déjà trouvée de A"'j„, nous obtenons enfin

:^n= Jo -+- n A j -f- — A' j„ -\-. . .

-f- n {n — i). . . (« — w -J-i) (Ax^^.A, formule dont nous tirerons bientôt parti.

80. Après avoir exprimé j„ en fonction de r« et de ses différences consécutives , on peut récipro(|uement exprimer A" > „ en fonction des n -\~ 1 valeurs j, » J 1 , .)': > • • • > .Tn-

Pour cela, remarquons que

^'Jo = (r^ — Ji ) — ( J> — Jo ) = y-i — 2.,r , + .Vo , à^fo — in — 2 J.+ r, ) — [j,— 2 j, + r„) = j3 — 3 j2+ 3 j-, — jo,

et ainsi de suite. On reconnaîtra donc par la méthode connue de généralisation pour les résultats de cette nature , que l'on a

n(n — i) n[n — 1)(« — 2) '^"j'o=jr«— «r„, H — '^ ^ >„,. ^ !^\ — ■ fn-, -H • . . ±7» ,

le dernier terme devant être pris positivement si // est pair et négativement si n est impair.

Ce développement peut encore se représenter par la formule symbolique suivante :

en changeant les exposants en indices, et remplaçant l'unité parju dans le dernier terme.

Cette formule nous donnera

H ■ -\x-\-(n — 2) Ax]'"— . . .±x"'.

Si nous développons et ordonnons le second membre suivant les puissances de àx, en posant pour simplifier

il viendra

A" . x'" = No 3/" H N, a;"'-' A X

mim — 0 , . , ,

H ^^ -'^,x"'-UAxy->r.. .4-N„(A.r)"'.

Mais on a vu dans le numéro précédent que la moins haute puissance de Hx dans le développement de A", x'" est(A.r)"; donc la

fonction N^ est identiquement nulle pour foutes les valeurs de a inférieures à n (*). On ;i trouve d'ailleurs , en posant m •=. n ^

i\". j;«= n {n — 1)(« — 2). ..3.2.1 (àx)",

ce qui donne

N„=:«(rt — i) (" — 2)... 3. 2.1,

puisque A", x"' se réduit à N„( Ax)" pour m = n.

ft7. Reprenons la formule

fi (n — I ) , n (n — ii in — 2 ) Jn = .)-o -1- n àf„ H '■ A= j„ + — ^ '-^ ^ A^ Vo 4- . . .

H- rt (« — i) (rt — 2). . ,(n — »/ 4-1) (A.r)'"A,

que nous avons posée à la fin du n° SS.

Cette formule, qui nous servira à séparer les racines d'une équation, et à les resserrer dans des limites suffisamment approchées, est due à Newton; mais il ne faut pas confondre ce procédé, basé sur les différences ,avec la méthode due également à Newton et que nous avons étudiée dans les approximations successives.

Nous substituerons dans l'équation

^- := G , ou bien Ax'" -\- A , .r"'~' -\- . . ,= o,

des valeurs de x équidistantes, d'abord d'une imité, c'est-à-dire que nous commencerons par prendre

Ax = I .

Si les racines ne sont pas séparées par des substitutions «le nombres entiers consécutifs, pris entre les limites inférieure et supérieure, on fait des substitutions de dixième en dixième; alors

On peut encore prendre

( * ) Par exemple,

(Voir Nouvtdlcs Annaln, tonio Xllt, paf;o ?.~:'..^

et ainsi de suite. Il est bien entendu que l'on ne doit pas s'exposer ;i chercher des racines dans un intervalle où il ne s'en trouverait pas; on est guidé à ce sujet par le théorème de Stiirm. D'ailleurs, dans la pratique, on connaît presque toujours l'ordre de grandeur de la racine que l'on cherche.

Quoi qu'il en soit, nous devons montrer qii'aj)rès avoir fait dans la fonction un nombre limité /// de substitutions directes, on peut disposer avec les difféi'ences correspondantes un tableau qui donne, par un calcul très-simple, les résultats d'autres substitutions fiiites au delà et en deçà avec la même différence Ax.

Pour fixer les idées nous supposerons, comme nous l'avons dit, qu'il s'agisse d'une équation algébrique

Ax"'-\- Ai^r"'-' = o ,

alors nous verrons que le nombre nécessaire de substitutions di rectes est le degré m de l'équation.

Nous prendrons pour exemple l'équation

jt' — 2 x^ -t- - .r' — - .r H = o ,

ou bien

70 X* — 1 4o x-^ -\- go j.' — 20 r -f- I = o ,

dont nous avons déjà cherché une racine dans le n" lo. Nous avons alors supposé, non-seulement que la séparation des racines était obtenue, mais aussi que la racine en question était connue à un centième près. Il faut voir maintenant comment ou avait pu parvenir à ces résultats.

Changeons x en — x , ce qui donne

70 a:' H- 1 4o x' -f- go a;' -I- 20 jc -|- 1 .

La règle de Descartes (*) montre que l'équation transformée n'a pas de racine positive , puisqu'elle ne présente pas de variation ; d'ailleurs il est évident qu'aucun nombre positif ne peut rendre nul le premier membre. Donc la proposée n'a pas de racine néiïative.

(*) Une équation ne peut avoir plus de racines positives que de varialinn it(^ •i'frnf rl'iiii Iprmc à l'autre.

INTEKHOIATIONS. 7.3'J

Nous pouvons iiu-lhc octtc cqualiori proposée sous la loi ni<'

70 a-' (x — 2 ) + 1 o x (cfx — :>. ) +1 = o.

Alors il ost facile de voir que 2 est une limite supérieure des racines positives de l'équation; en effet, pour or = 2, ]fi premier membre devient positif, et pour toute autre valeur plus grande que 2, les facteurs j: — 2, ç).».- — 2 étant évidemment positifs, ce premier nombre sera encore positif à plus forte raison.

Les racines réelles étant donc comprises entre o et 2 , il n'y a pas lieu de faire un tableau suffisant en substituant des nombres entiers, et nous allons passer immédiatement à la substitution des dixièmes.

La différence quatrième, qui doit être constante, se calculera directement par la formule

A = 70, /i = o,i et A' =1 0,0001 j donc

S z= //*A =r 0,007; puis

Ensuite, pour trouver une différence troisième, il faut faire quatre substitutions directes dans l'équation

On posera donc les valeurs de .r,

< e (jui donnera

Jo=i, j, = — 0,233, .rj = — 0,408, j3=— -o,m3.

On en conclura

Ar„= — 1,233, A'jo='5o58 et à'j„=: — o,588.

On connaît d'ailleurs

A^7„= 0,168, valeur constante.

D'après cela on forme le tableau suivant, comme nous allons le voir.

i,si4

o,if)8

o,iG8