Z =: OO

IV. Soient M et M' (fig. 45) deux points infiniment voisins Fig. 45. d'une courbe dont l'équation en coordonnées polaires est

en appelant w l'angle que fait avec l'axe OT le rayon vecteur OM = p; Y^ soit aussi l'angle que fait la tangente

avec Taxe , il est clair que l'angle OMT = Ô — «. Du centre O et du rayon OM décrivons l'arc de cercle infiniment petit MN qui coupe OM' en N ; l'angle M' OM sera l'accroissement </« , l'arc MN — pdv, et M'N = dp sera de même l'accroissement infiniment-petit du rayon vecteur.

Cela posé, MN pourra être regardé comme perpendiculaire à la fois sur OM et sur OM' ; le triangle MM' N sera donc rectangle en N, et comme l'angle NMO est aussi droit, on a

puisque ces deux angles sont tous deux compléments de M'MN : par conséquent

^ MN . tan ^ 9 - w)= M^N

ou bien

tang(ô — w ) — L -.

dp

L'accroissement de surface MOM' devient, en négligeant l'infiniment petit du second ordre MNM', le secteur MON j donc

ds :rr - p ? dtù.

V. On démontre en mécanique que, si une courbe plane est produite par le mouvement d'un point ou d'une ligne, on peut

toujours admettre que , dans un instant infiniment petit, ce mouvement a lieu autour d'un centre instantané de rotation : si donc on joint ce centre à la position correspondante d'un point mobile, il est clair que cette ligne de jonction sera normale, c'est-à-dire perpendiculaire à la tangente ; il suffit donc de trouver ce centre pour construire la tangente, construction graphique souvent trèssimple.

Soit, par exemple, la droite GB de longueur constante, mobile dans l'angle donné CAB ( la figure n'est pas faite ) : soient les perpendiculaires CO , BO sur CA et BA, et joignons le point O où elles se coupent avec un point D pris sur GB à la distance déterminée CD ; cette droite OD sera normale à l'ellipse que décrit le point D dans le mouvement de la droite GB , car il est clair que O sera le centre instantané de rotation .