I. Soit

l'équation d'une asymptote à une courbe quelconque dont l'équation est

il faudra que cette dernière équation puisse se mettre sous la forme

y = ex -h d -h V,

la quantité représentée par V devant diminuer quand x augmente et devenir nulle pour x = oo . Alors

et l'on trouve

lim r - = ,

pour x r= oo , puisqu'il reste alors

On aura ensuite

d = y — ex — V,

ou bien, puisque V devient nul à la limite, on obtient

d~\\m (y — ex).

On pourrait s'étonner de voir que y — ex. prenne une valeur finie pour des valeurs infinies de x et de y, mais il faut observer que la différence de deux quantités infinies peut quelquefois être une quantité finie.

II. Cela posé, il reste à calculer ces limites pour une courbe algébrique quelconque.

Cette équation, étant de degré *w, a un certain nombre de termes de puissance 177, que nous représenterons par

U = A xPy* 4- B afy> H- . . . , de sorte que

On aura de même un autre groupe de termes de degré m — 1 , U, = A, xP\ y*\ -h B, x r t y>\ H- . . . ;

un groupe de termes de degré m — 2 ,

U, = A 2 xP*yi* -+- Bixfty*! 4- . . . ,

et ainsi de suite : de sorte que l'équation sera

Dans cette équation, il faut faire y = ex et chercher la valeur de c correspondante à x = rt 00 . Or, si Ton pose

T = Atf-+- Bc*4- . . .,

T 3 = A, <fi% 4- B a <r*i •+-..., l'équation devient

TV -+- T, «*-' 4- T 2 .r"'~ 2 -h . . . — o

ou bien

ce qui, pour x r= ± oo , donne

T=o, c'est-à-dire

Àc?+ Bc»H- . . . = o,

équation qui s'obtient en changeant dans U x en i et y en c. Pour trouver d, changeons dans l'équation de la courbe

U -hU.-l-Ua -+- . . .z=z O,

j en c-r -+-<*, c étant main tenant une quantité connue. Soient T" , T",. .. les dérivées successives de T ; soient T f l , T* a , . . . , celles de T, , et ainsi de suite : on trouvera' facilement

Tx m -h(Trt + T l )x m ~ l + /!-d»+r i rf + T,yT»- ï + ... =o.

On sait déjà que T = o , ce qui fait disparaître le premier terme : divisant donc par «r 1 " - ' et supposant x = zhoo , il reste

ce qui donne une valeur de d pour chaque valeur de c.

Si pourtant on avait à la fois V = o , T, = o, il faudrait poser

— rf î -t-T l rf + T a =o,

et ainsi de suite.

Cette méthode ne donnerait pas les asymptotes parallèles à Taxe des j, pour lesquelles on aurait c == oo , mais on les obtiendra en supposant l'équation ordonnée par rapport à y. Soit alors

Sjr" +• S, j"-' -h . ..= o

cette équation, et divisons-la parj"; il est clair que les seules valeurs finies de x qui correspondent à y =rrfc oo sont données par

l'équation

Si l'on applique cette méthode à la courbe qui a pour équation

on trouve

pour équation des asymptotes, qui sont, par conséquent, les bissectrices des angles de coordonnées.

On peut aussi demander quelles sont les tangentes parallèles aux asymptotes, connaissance nécessaire pour limiter certaines branches. Il suffit, pour cela, de poser zz^c dans l'équation

et d'éliminer entre cette relation et l'équation de la courbe. Nous aurons donc ici

La valeur ï=:i ne donnera rien (*), mais pour z = — i on

trouve

En effet, en éliminant d'abord y 2 entre la relation

__ ___ 3 x 2 — y* ' ixy — ï

et l'équation de la courbe

or 5 — y 7 x-+- y = o,

(*) On trouverait

/(H-îi'Jsxfi + n 1 ),

ce qui donnerait l'asymptote dont l'équation est v *

comme on devait s'y attendre , et aussi N

ï -+- 2Jc' = o;

mais ce facteur commun , étant égalé à zéro, ne donne aucune valeur réelle de x.

on trouve

y (i — 2.r a ) -f- # (i — 2i J )=:o, et la valeur '

2 x 2 = i ou bien • .r = ± -7=

rend nul le facteur commun 1 — zx 2 .

Pour trouver les valeurs correspondantes de y, nous remarquerons que F équation de la courbe revient à

2JC

ce qui , pour 2 x 1 = 1 , se réduit à

Afin de savoir quels signes il faut choisir, supposons d'abord

que Ton prenne

et remarquons qu'il s'agit de la parallèle à l'asymptote dont l'équation est

et pour laquelle x > o donne y < o. Il en sera donc de même pour la branche de la courbe dont s'approche cette droke; par conséquent]

x = -\ — -r donnera y = — : — 1 5

(*) Ou plutôt à

car il serait facile de constater que la branche représentée par

1 — yT+TP y — 1 —

est la seule dont s'approche l'asymptote pour laquelle ?=. — £.

de même

•r = r= donnera j = i •=. (*).

III. On peut chercher par la même méthode des asymptotes paraboliques d'un degré quelconque , c'est-à-dire dans lesquelles l'ordonnée est exprimée suivant diverses puissances de l'abscisse.

Soit , par exemple, la parabole dont l'équation esf

y = ex 2 -f- dx -f- e.

Pour que cette courbe soit asymptote, on verrait, comme cidessus, que l'équation donnée peut se mettre sous la forme

y = cx l -f- dx -f- c -f- V,

V étant une quantité qui devient infinie pour x = o. On aura, comme pour l'asymptote rectiligne ,

y (de V\ , y — ex 2 (e V <•=-— -H- -r-r--: 1> d=- I 1 l »

et enfin

e = y — ex 2 — dx — V ;

par conséquent c = lim — ? d = lim -> e = lim ( y — ex 2 — dx).

On est encore conduit quelquefois à trouver des asymptotes curvilignes par le procédé employé pour celles de l'hyperbole dans la discussion générale des courbes du second degré.

Supposons que l'équation de la courbe donnée puisse se mettre sous la forme

( * ) On sait que , dans une courbe d'un degré supérieur au second , une

tangente en un point peut couper la courbe en d'autres points; cela peut

donc arriver aussi pour les asymptotes : c'est ce qui a lieu pour la courbe

dont l'équation est

y* — x* -+- iax t y.=. o.

et comparons Tune des branches de cette courbe avec la branche correspondante de la ligne qui aura pour équation

La différence entre les deux ordonnées sera

Si nous supposons que Y diminue à mesure que x augmente, ou même soit indépendant de.?, et que les quantités ?(•*), + (#) augmentent, au contraire, en même temps (l'une des deux pourrait aussi être indépendante de x), il est facile de voir que les lignes droites ou courbes représentées par les équations

sont asymptotes de la courbe donnée.

Ainsi , la courbe représentée par l'équation

.r 3 — y* x ■+■ y zn o a pour asymptotes les hyperboles dont les équations sont

y = \- x et y = x.