MAXIMA ET MINIMA DES VARIABLES

09. On appelle points singuliers, les points où la courbe présente quelque particularité remarquable. Les uns tiennent d'une manière absolue à la nature de la courbe; les autres sont relatifs au choix des coordonnées, et sont, par conséquent, les moins importants (*). Cependant c'est par eux que nous commencerons, parce que leur étude nous servira par la suite à trouver les autres points singuliers.

Ces points singuliers relatifs sont ceux pour lesquels les coordonnées sont maxima ou minima. Nous pourrons donc résoudre ces questions par les méthodes que nous connaissons pour la recherche des maxima ou des minima des fonctions explicites et implicites, mais nous pouvons aussi traiter directement cette question en observant que, dans ces points, les tangentes sont nécessairement parallèles à l'un des axes.

Ainsi, soit un point où y est maximum ou minimum, c'est -à-

( * ) JNeanmoins, les sommets des courbes, c'est-à-dire les limites de* coordonnées parallèles aux arcs de la courbe (90), sont des poinls d'une importance facile à concevoir.

dire plus grand ou plus petit que les vajeurs qui suivent ou qui précèdent immédiatement ; il est clair que la tangente sera paral-

lèle à Taxe des x : on aura donc dans l'expression z = — — *

et, par conséquent,

Si, au contraire, il s'agit du maximum ou du minimum de jc, la tangente devenant parallèle à Taxe des y, on aura

« = oo et Y =r o.

Cependant cette méthode serait en défaut si la même valeur qui donnait X = o, donnait aussi Y = o. Alors il faut revenir aux méthodes qui donnent les maxima et minima des fonctions (36 et suivants).

En général, une tangente dans une direction quelconque donne les limites de la courbe suivant cette direction, du moins aux environs du point de contact.