CONCAVITÉ ET CONVEXITÉ. POINTS D'INFLEXION

100. On dit qu'une courbe ou plutôt une portion de courbe est concave relativement à un point de son plan , lorsque, si l'on joint ce point à un point de cette partie de courbe et si Ton mène une tangente à ce point de la courbe, la portion de courbe est comprise entre la tangente et le point donné. ..-■...

Si, au contraire, la tangente est comprise entre. Ja,. portion de courbe et ce point, on dit que cette partie de courbe çst convexe par rapport à ce point. . v

Or on trouve quelquefois des points de, la çou^b.e^^ la courbure change, c'est-à-dire tels, que, dans les points qui précèdent immédiatement, la tangente est, par exemple, au-dessus de la courbe, tandis qu'elle est au-dessous pour ceux qui suivent immédiatement. Ces points, qui sont évidemment des points singuliers de nature absolue, comme tous ceux que nous étudierons par la suite, s'appellent points d'inflexion.

Soient M (fig.lfô) le point d'inflexion, NT la tangente au point N

280 CHAPITEE SEPTIÈME.

placée au-dessus de la courbe comme nous l'avons supposé , K'T' *Mî' 46. la tangente en N' située au-des-

sous de la courbe ; on voit que la tangente MP au point d'inflexion sera intermédiaire entre ces deux portions, puisqu'elle sera au-dessous de la portion de courbe MN et au- dessus de MN'.

Par conséquent , si Ton imagine le mouvement de la tangente de N en Tï', on voit que cette tangente en N ira rencontrer Taxe des x en T, à gauche du point P, où MP coupe ce même axe. Quand la tangente se rapprochera du point M , le point T se rapprochera aussi du point P et finira par l'atteindre, mais ne pourra le dépasser. En effet, quand le point de contact viendra de M en N', le point T' s'éloignera de P et repassera à gauche de ce point. Donc l'angle a que fait MP avec O x est l'angle maximum entre ceux que font les tangentes aux environs du point M.

On ferait voir absolument de la même manière {fig. 47 ) que si Fig. 47. la tangente est placée en N

au-dessus de la courbe , et au-dessous en N', l'angle a que fait avec [l'axe h des x la tangente au point d'inflexion, est au contraire un minimum.

Mais, dans les deux cas, cet angle a est une limite au point d'inflexion, et il en sera de même pour le coefficient z de la tangente. En effet,

sina

sin ( ô étant l'angle des axes : ou a aussi

sin rot a — cosO

THÉORIE DES COURBES PLANES. 28 f

ce qui montre que, si a est maximum , cot a est minimum , ainsi que le dénominateur; donc z sera maximum en même temps que a. Même observation pour le minimum.

Cela posé , imaginons qu'entre l'équation

de la courbe donnée et la relation

on ait éliminé y \ il restera une relation

que Ton pourra regarder comme l'équation d'une courbe dont x serait l'abscisse et z l'ordonnée. On trouvera donc le maximum ou le minimum de z, comme on a trouvé ceux de y : ce qui donnera les peints d'inflexion. Il faudra donc chercher la dérivée de cette équation par rapport a x , et V égaler à zéro ( *).

( * ) Cela revient à

ou bien, comme on a déjà

il faut poser

dz dx

dy

dz En effet — = o résulte de l'équation dx

comme on le voit par la relation qui donne

Du reste, nous verrons ( 102) que l'on peut quelquefois, par cette théorie, confondre un point d'inflexion avec un point de rebroussement de première espèce.

Il est clair que Ton pourrait aussi bien éliminer/ tt avoir l'équation

sur laquelle ou opérerait de la même manière ; on choisira , de ces deux éliminations, celle qui donne le calcul le plus simple. On peut encore , si cela est plus avantageux , poser

ce qui fait souvent disparaître des facteurs communs dans X et dans Y.

Si la courbe est donnée en coordonnées polaires , nous savons que , G étant l'angle que fait la tangente avec l'axe , on a

pd w tang(0 — w) = *--— ,

et nous savons aussi que sera un maximum ou un minimum pour les points d'inflexion. Alors il faut remplacer f> par sa valeur en fonction de &>, et après cette élimination ,

y = lang , x = tang &>

seront les coordonnées de la courbe que l'on imagine pour trouver l'inflexion , en cherchant la limite de j.

Enfin, on conçoit qu'un point d'inflexion doit être regardé comme la réunion de deux éléments , appartenant à chacune des deux portions de courbe, c'est-à-dire comme la réunion de trois points. Donc, pour qu'une courbe ait un point d'inflexion, il faut au moins qu'elle soit du troisième degré.

Comme application , nous allons chercher les points d'inflexion de la courbe dont nous nous sommes déjà occupés, et qui a pour

équation

Nous remarquerons d'abord que l'origine est un point d'inflexion, car l'axe des x est tangent à l'origine, et la courbe passe au-dessus et au-dessous de cet axe. Pour trouver les autres points d'inflexion , posons

l'équation de ta courbe deviendra , en divisant par x\

ensuite