POINTS MULTIPLES, POINTS CONJUGUÉS

101. On appelle point multiple un point où se réunissent deux ou plusieurs branches de la courbe : on peut en distinguer de deux espèces, par intersection et par contact. Quand deux branches se coupent, c'est-à-dire quand elles ont au point de rencontre des tangentes différentes , il est facile , comme nous l'avons vu , de déterminer ces tangentes, et, par suite, d'avoir la marche des deux branches; mais quand ces branches se touchent, c'est-àdire qu'elles ont la même tangente au point commun, il faut, pour suivre les directions des deux branches, donner à & et kj différentes valeurs aux environs du point multiple. On peut ainsi vérifier, par exemple, si les deux branches sont du même côté de la tangente au point multiple , ou de côtés opposés.

On trouve quelquefois des points isolés qui font partie d'une courbe, c'est-à-dire dont les coordonnées satisfont à son équation. Ces points s'appellent des points conjugués; voici comment on peut concevoir leur existence.

Imaginons une courbe dont l'équation contienne un certain nombre de coefficients, et supposons que cette courbe se corn-

THÉORIE DES COURBES PLANES. v â85

pose de deux parties dont l'une soit fermée; ensuite admettons que, pour une valeur particulière donnée à un ou à plusieurs des coefficients de l'équation, cette portion fermée se réduise à un point, comme le cercle dont l'équation

qui ne représente plus qu'un point quand r = o; on obtiendra alors un point conjugué.

Gomme toute ligne passant par ce point pourra être considérée comme une tangente, on aura

et un point conjugué présente le caractère d'un point multiple ;

mais ici il rat clair que l'indétermination pour la direction de la

tangente sera complète et réelle.

C'est ce que l'on peut observer pour la courbe dont l'équation

générale, est

ay 7 = x 3 — bx-.

Faisons comme cas particulier

il reste

ay* = x* — - ax 7 ,

ce qui donne

'"(ï- 1 ) et J r = ± *v/=" 1

Admettons que a soit positif, il est clair que y ne sera réel que

si l'on pose

i > o ou x^> a.

Cependant x = o donne

donc l'origine est un point conjugué.

Dans ce cas, on a un point d'inflexion pour x = — •