REBROUSSEMENTS, POINTS D'ARRET, POINTS SAILLANTS
iOÎ. Les branches qui forment un point multiple proprement dit se prolongent de part et d'autre de ce point : si , au contraire, elles s'y arrêtent brusquement, on dit que c'est un point de rebroussement ; nous supposerons qu'il n'existe que deux branches.
Il peut encore arriver. que les deux branches aient la même tangente ou deux tangentes différentes, mais l'on réserve plus spécialement le nom de rebroussement au cas où la tangente est commune; sinon, on dit que le point est saillant ou anguleux.
On dit que ce rebroussement est de première espèce quand les deux branches sont de côtés opposés de la tangente (fig» fô)i et de seconde espèce quand elles sont du même côté [fig. 49).
Les rebroussements de première espèce sont les plus ordinaires; on peut donner une formule pour les déterminer.
Soit M un point de cette nature (y£g. 5o) où s'arrêtent les branches MA et MB, et supposons , poqr fixer les idées , que OP = x> abscisse du point M, soit un minimum de x. Puisque le rebroussement est de première espèce, il est facile de voir que deux points N et N', pris sur une même ordonnée à droite du point M, donneront des tangentes, l'une plus inclinée, l'autre moins inclinée, que la tangente MR commune en R aux
Fig. 49.
Fig. 5o.
THÉORIE I>XS COURBES PLANES. iS*}
deux branches. Si donc on construit (fig. 5i) une courbe SUS' Fig. 5i. qui ait les mêmes abscisses que la
courbe de la fig. 5o , de sorte que OC=OP et OD = OQ, et dont les ordonnées soient les valeurs successives de l'inclinaison z de la tangente dans cette première courbe , on voit que les ~ô] c^ x~ deux valeurs DS, DS', qui correspon-
dent à OD, sont, Tune plus grande, l'autre plus petite que CH; par conséquent CH est une droite tangente à la courbe SHS' et parallèle à Os; on la déterminera donc en égalant à zéro la dérivée de
prise par rapport à z : y (*, x) = o étant l'équation de la courbe SHS', laquelle s'obtiendra en éliminant y entre l 'équation
de la courbe proposée , et la relation connue
On peut aussi , comme on le fait très-souvent dans la discussion des courbes, prendre pour variable indépendante le rapport
( * ) On verrait, comme dans la note du n° 100 , que cette relation
do
donne
dt __
ou bien , puisque Ton a déjà i = — *
■ — or .
dx*
288 CHAflTEK SEPTIEME.
Mais il est important d'observer une circonstance où cette théorie peut être en défaut et faire prendre une inflexion pour un rebroussement de première espèce , ou vice versa. Il pourrait se faire que, dans \*fig* 5i, le point H , au lieu d'avoir sa tangente CH parallèle à Taxe des ordonnées, rut lui-même un point de rebroussement de première espèce , avec une tangente commune aux deux branches HS et HS', et parallèle à l'axe des abscisses. Dans ce cas particulier, il est clair que ce ne serait plus la dérivée par rapport à z , mais la dérivée par rapport à/, qui serait nulle, ce qui est le caractère ordinaire d'un point d'inflexion.
La cissoïde de Dioclès, dont l'équation est
x 3 + X 7 x — lay* = o ,
donne un rebroussement de première espèce. On trouve
3^+r 1 __ jp(3+r a ) iy ( 2 a — x) 2 f ( a a — x ) '
mais l'équation de la courbe elle-même donnera
*(!■+- * 2 ) = 2at* y
(Tofi
iaO la
x ±= et la — x r=
on a donc
2z = f(3 + /') et 2.^=3 + 3f'=3(i 4- *').
Si Ton posait
on en conclurait
dt
dz
dt '
* =.oo ,
ce qui serait une solution fausse; mais il faut observer que ce n'est
p as , mais — qui doit être égal à l'infini. Nous devons donc r ,dt dx.
chercher
dz dz dt
dx dt dx
THÉORIE DfeS COURBES PLANES. $89
Or
dx __. ia (1 -f- f J ).2f — 2<i* 2 .2/ 4 rt *
et
d'où enfin
Pour avoir
il faut poser ce qui donne on en conclut
dt (i + t 2 )\ dx~~ ~\at '
jfc 3(iH-^) s r/jp 8flf
dx t = tangw =r'Oj
pour l'origine. L'axe des x est donc une tangente commune aux
deux branches qui forment un rebroussement de première espèce à
l'origine, comme d'ailleurs on peut s'en assurer directement. Nous
avons voulu seulement avertir que l'emploi de t comme variable
indépendante n'est qu'un artifice de caFcul , et que les valeurs de
dz
— ne deviennent pas toujours nulles on infinies en même temps
dt
que celles de -—•
dx ^
Enfin, il est certains points où la méthode précédente laisserait encore dans l'embarras , parce que les branches de rebroussement s'y trouveraient réunies avec une autre branche Ayant une autre tangente. C'est ce que l'on voit dans la courbe dont l'équation est
Il est facile de reconnaître directement que, du côté des ordonnées positives, on a une branche qui a l'axe des x pour tangente et l'origine pour point de contact ; tandis que, du côté des ordon^ nées négatives , on a deux branches dont l'axe des y est la tan*~
gente commune et qui se réunissent à l'origine où existe par conséquent un rebroussement de première espèce. Gomme exemple de rebroussement de seconde espèce, nous citerons la courbe qui a pour équation
( Voir Delisle et Gerono , n° 3o2.)
Si une branche de courbe s'arrête brusquement sans qu'une autre branche vienne la rencontrer en cet endroit, on dit qu'il existe un point cT arrêt. C'est ce qui a lieu , par exemple , pour la courbe représentée par l'équation
y -hi= —
e (fig» 52), qui reviendrait à
Ar.
en changeant y -f-i en y x et x en — x,.
Fig. 52. Cette courbe est formée de deux
branches BL, MN dont la première a pour asymptote, dans le sejas des abscisses positives, Taxe même des x , et s'arrête brusquement au point B dont ^^ les coordonnées sont
tandis que la seconde a pour asymptote Taxe des ordonnées dans le sens positif et Taxe des abscisses dans le sens négatif. En effet, tant que x est positif, la fonction
va en décroissant indéfiniment pour des valeurs de x de plus en plus petites, et finalement s'évanouit avec x, tandis quelle tend à devenir égale à l'unité pour des valeurs de x de plus en plus
grandes. Au contraire, lorsque x passe par des valeurs négatives, le même fraction croît au delà de toutes limites pour des valeurs numériques de or de plus en plus petites , au lieu qu'elle tend en* core à devenir égale à l'unité pour des valeurs numériques de x de plus en plus grandes.
Comme exemple de points saillants ou anguleux , nous citerons la courbe qui a pour équation
( Voir Delisle et Gerono.)
