COURBURE DES LIGNES, CERCLE OSCULATEUR, DÉVELOPPÉES

105. I. Si deux courbes ont même tangente en un point, on peut dire qu'elles sont tangentes Tune à l'autre intérieurement ou extérieurement , et d'ailleurs il est évident qu'elles ont aussi même normale en ce point. Mais si, au lieu d ? avoir seulement un élément commun , les deux courbes tangentes ont deux éléments communs entre elles, c'est-à-dire trois points infiniment voisins , on dit qu'il y a oscillation au lieu d'un simple contact.

Deux courbes , d'après leur degré , peuvent avoir un nombre plus ou moins grand d'éléments communs , ou bien une oscillation plus ou moins complète, mais un cercle ne peut généralement avoir avec une autre courbe plus de trois points communs consécutifs, puisque l'on ne peut faire passer qu'une circonférence par trois points donnés.

Si l'on mène, pour chaque point d'une courbe, un cercle qui jouisse de cette propriété, il s'appelle cercle oscillateur, et c'est lui qui détermine la courbure de la ligne en ce point, puisqu'il a avec elle un contact plus intime qu'aucun autre cercle.

Quant au cercle lui-même, sa courbure se mesure par le rapport d'un angle M0M f {fie* 53) à l'arc MM' correspondant, rapport qui est -=r-i R étant le rayon du cercle R

(car on peut définir l'angle par le rapport de Tare au rayon : alors l'angle est un nom.

2t)2 CHAPITRE SEPTIEME.

bre abstrait , tel que -j)* Mais pour une courbe quelconque, fe

cercle oscillateur variant d'un pointa l'autre, la courbure sera aussi variable et s'exprimera d'ailleurs, d'après ce que nous avons

vu, par —9 en appelant R le rayon de cercle oscillateur an point R

que Ton considère.

Ainsi soient A, B, Clés trois points infiniment voisins, communs au cercle et à la courbe , et soient M et M' les milieux de ces éléments AB et BC; la courbure sera représentée par le rapport

angle MOM' i arc MM' ~~ R "

Le rayon OM = R s'appelle rayon de courbure , et le centre O , centre de courbure.

Si l'on mène aux points M et M' des tangentes communes à la courbe et au cercle oscillateur, elles se coupent en un point T ; l'angle MTM, très- voisin de 180 degrés et supplément de l'angle très-petit MOM , s'appelle X angle de contingence.

IL On a vu que le point O {fig. 53) , centre du cercle oscillateur, était le point de rencontre de deux normales MO, Bi'O in-. Uniment voisines.

Concevons donc [fig. 54) la série des centres de courbure O, Fîç. 5 \ . O' , O" , . . . , elle représentera le lieu géométrique

des intersections consécutives des normales à la courbe.

En général , quand on a une série de droites menées suivant une loi déterminée, les intersections consécutives forment une courbe que Ton appelle Y enveloppe de toutes ces droites, et qui est tangente à chacune d'elles, car une quelconque de ces droites, telle que A'CO", a un élément O'O" commun avec la courbe enveloppe.

Ainsi la courbe PQ , enveloppe de toutes les normales à la courbe M>", sera tangente à chacune de ces normales; cette espèce

particulière d'enveloppe s'appelle la développée de la courbe MN qui est réciproquement la développante de PQ. Voici la raison de ces dénominations. Imaginons un fil enroulé sur la courbe PQ et tendu suivant la direction OÀ; supposons maintenant qu'on déroule ce fil en le tenant toujours tendu , l'extrémité qui est en A passera successivement en A', A",..., et l'autre extrémité en O', O",...; on voit donc que la courbe PQ est déroulée ou développée dans ce mouvement.

On voit qu'une développante MN ne peut avoir qu'une seule développée PQ , mais que PQ peut avoir une infinité de développantes, puisque la longueur primitive AO du fil tendu est arbitraire.

Connaissant l'équation d'une courbe quelconque, on trouve l'équation de la développée et celle du rayon de courbure en un point quelconque.

Soit

l'équation de la courbe; nous poserons

r ' =/'(*) et X " = f( x ).

On sait que l'équation de la normale au point de la courbe dont les coordonnées sont x et y y est

( 2 ) r'(ji — /) + *!— * = o,

x, et y x étant les coordonnées du centre de courbure. On aura, en difFérentiant pour passer à la normale infiniment voisine,

Si Ton élimine .r et y entre (i), (2) et (3), il reste

équation de la développée.

De plus, l'équation (3) donne

2y4 CHAHlaE SEPTIÈME.

ce qui , transporté dans l'équation (2 ), donne encore

comme d'ailleurs

on trouve

v=i l+ FK

ou bien

Si l'équation de la courbe est donnée au moyen des coordonnées polaires p et w, soient

o'= d J- et B '=^=ll£;

on verra par les relations connues

y = p sinw, x = p cosw,

que

p^inco-t-pcoso) r/ p.' -f- 2 p" — po"

p'cosw — p sin « " (p'cosw *— p sinw) s

R = -Jf!±-£>

pt 4. 2 p" — pp"

Les équations ordinaires de la courbe et de la développée présentent des relations remarquables dues à la génération mutuelle des deux courbes. On remarque, en effet, d'après ce mode de description, que l'accroissement du rayon de courbure est égal à celui de Tare de la développée; soit donc $, cet arc à partir d'une position déterminée , nous aurons

dK = ds k .

Enfin, d'après la définition même des deux courbes, les normales à la développante sont tangentes à la développée, ce qui

donne

on voit parla que cette propriété est mutuelle, c'est-à-dire que les tangentes à la développante sont aussi normales à la développée.