III. La formule

donne lieu à quelques observations sur les relations qui existent entre les points singuliers d'une courbe plane et ceux de sa développée.

On voit que R devient infini ou que la courbure est nulle pour Fig. 55. j r/ z=o, ce qui indique, comme on le sait,

un point d'inflexion de la développante. Ainsi les normales de la développante aux points d'inflexion sont en général les asymptotes de la développée, puisque R = oo {fig. 55).

Les points d'inflexion de la développée correspondent sur la développante à des points de rebroussement de seconde espèce, comme le montre la fig. 56. Cependant la réciproque n'est pas toujours Fig. 56. vraie : si le rayon de courbure est nul à ce point de rebroussement , la développée présente aussi un rebroussement.

Quand le rayon de courbure est nul , les deux courbes se rencontrent et se coupent à angle droit, ce qui est une conséquence de leur génération mutuelle. On trouve

R = o pour y" = o ,

ce qui correspond généralement, ainsi qu'on Ta vu, aux points de rebroussement de première espère de la développante.

Quant aux rebroussements de première espèce de la développée, ils correspondent d'ordinaire aux maxima et minima du rayon

2g6 0HAP1TR* SKPT1KUS.

de courbure de la développante, comme on peut le voir par ta fig. 57, relative à l'ellipse.

Enfin, nous ferons observer que la développante d'une courbe fermée, telle que le cercle et l'ellipse, est une spirale indéfinie, parce que Ton peut regarder le fil comme enroulé autant de fois qu'on le voudra autour de la courbe : on peut même supposer que ce fil se déroule à droite ou à gauche; donc cette spirale est double, et les deux systèmes dont elle se compose se raccordent au point de départ en faisant un rebroussement de première espèce (Jig. 72).

IV. Le cercle osculateur d'une courbe quelconque présente une particularité remarquable, c'est qu'en général il coupe la courbe en même temps qu'il la touche. En effet , dans la portion de courbe où se trouve îe point M que Ton considère, la courbure varie d'une manière continue ( fig. S 9 ] ) , et augmente , par exemple, de B en A.

Fig. 57. Donc, R étant le rayon de

courbure M, M au point Al,

cette courbure est <- de

B en M , et > - de M en A.

Mais comme elle est toujours égale à — pour tous

les points du cercle, il s'ensuit que de B en M ce cercle- passe au-dessous de la courbe, mais que de M' en À il passe au-dessus. La figure est faite pour une ellipse, mais le raisonnement s'appliquerait à une courbe quelconque; cependant nous ferons observer, relativement à l'ellipse, que cette courbe étant du second degré, ne peut être rencontrée par un cercle qu'en quatre points : or, comme le point M d'osculation représente déjà trois de ces points communs , le cercle osculateur ne peut plus rencontrer la courbe qu'en un autre point D.

Il existe certains points pour lesquels le cercle osculateur ne coupe plus la courbe : cela arrive pour les maxima et miniiua de

THÉOB1B DES COUftfiES PLANES. ?97

courbure de la développante , c'est-à-dire , dans l'exempte actuel , pour les sommets de l'ellipse , tels que A et B. Le cercle oscillateur en A, de rayon A, A , est entièrement intérieur à l'ellipse, de même que le cercle oscillateur en B, de rayon B,B , est complètement extérieur et embrasse l'ellipse. Chacun de ces deux cercles n'a qu'un point commun avec la courbe, parce que les sommets représentent quatre points ou trois éléments communs. C'est ainsi qu'une tangente , qui n'a généralement qu'un élément commun avec une courbe, en a deux dans les points d'inflexion.

Si Ton cherche l'équation de la développée A, B,. d'une ellipse dont l'équation est

on trouvera, en posant c*=r ci 1 — b\

x et y étant les coordonnées du point M , x { et/, celles du point M t . Cette équation , débarrassée des radicaux , est de la forme

elle est donc du quatrième degré. On voit qu'elle représente une courbe formée de quatre branches symétriques , avec des rehaussements de première espèce qui correspondent aux so minets : il ne faudrait pas croire que le point A, fût un des foyers deTellipse.'

Cette développée est la caustique par réfraction donnée par un point lumineux situé dans le milieu le plus réfringent.

Du reste, la construction graphique du cercle oscillateur en un point de l'ellipse se simplifie beaucoup par le théorème suivant, dont on trouvera la démonstration dans la Géométrie analytique de MM. Briot et Bouquet.

Quand un cercle coupe une ellipse en quatre points , les bissectrices de l'angle fias cordes communes sont parallèles aux axes de la courbe.

2g8 CHAPITRE SEPTIÈME.

Gela posé , pour venir au cas du cercle oscillateur, supposons que , M et D étant deux des points de rencontre du cercle et de l'ellipse, les deux autres soient sur une corde qui se rapproche indéfiniment du point M , de manière à devenir la tangente MT quand les points d'intersection de cette corde se réunissent en M; d'après la propriété précédente , la bissectrice MH sera parallèle à l'un des axes, qui se trouve ici être le grand axe.

Voici donc comment on peut construire le cercle osculateur au point M. Menez MH parallèle à OA , et faites l'angle SMB = HMT, MT étant la tangente en M : prolongez SM jusqu'à la rencontre de l'ellipse en un point D, et par les points D et M faites passer un cercle tangent à MT ; ce sera le cercle osculateur.