V. Le calcul de la formule

R = — -pi '

qui donne le rayon de courbure, est quelquefois assez pénible; il est donc utile desavoir obtenir directement l'expression , quelquefois très-simple, du rayon de courbure dans certains points où cette considération est particulièrement importante , tels que les sommets des courbes, sans être obligé de passer par la formule générale. Nous suivrons pour cela une méthode analogue à celle que nous avons employée pour les tangentes au commencement du n° 97, c'est-à-dire que nous chercherons à identifier l'équation d*un cercle avec celle de la courbe, pour les premières puissances des coordonnées, Nous savons, d'ailleurs, que le centre du cercle osculateur est sur la normale au point de contact , dont nous connaissons la direction par celle de la tangente. Considérons d'abord la parabole dont l'équation est

y étant la distance du foyer au sommet. Le cercle osculateur ayant son centre sur Taxe des x, aura pour équation

y 5 = iKx — X* ;

négligeons x" 1 relativement à x, puisque nous considérons des

THÉOBIE DBS COUBBES PLANES. 299

points très-voisins du sommet , il reste à identifier 2R x avec (\fx , ce qui donne

De même , l'équation de l'ellipse rapportée à son sommet négatif sur le grand axe étant

et celle du cercle osculateur en ce point étant

nous aurons, par le même raisonnement,

pour les extrémités du petit axe, on aurait

On peut souvent faire disparaître, par cette méthode, les indéterminations que présenterait la formule générale. Considérons la courbe qui a pour équation

y K — j:' + 2 ax*y = o ,

et relativement à laquelle nous avons déjà reconnu (102) que l'origine était à la fois un rebroussement de première espèce pour deux branches situées du côté des y négatifs, et un point de contact avec Taxe des x pour une branche placée du côté des y positifs. On sait que le rayon de courbure est nul à l'origine pour les branches de rebroussement, mais pour les branches de contact il a une valeur que nous allons chercher.

Le centre du cercle osculateur étant sur Taxe des y, ce cercle aura pour équation

x 7 = 2 Ry — y\

ou plutôt

en négligeant y* relativement à y . D'un autre côté, l'équation de

300 CHAPITRE SKPT1ÈMK.

la courbe nous donne

x 7 = ay -+- y ^<P -h y 1 .

Développons

en j>osant

yV ■+- y 7 =za i/ i -f- ( - j = a ^t -4- e

nous savons que , pour s très-petit , il reste

i là 1

Ici nous devons même négliger le dernier terme , qui donne*

rait — , et nous aurons 2a

x 1 = 2 ay 9

d'où l'on tire

Cette méthode s'applique à d'autres points que les sommets proprement dits. Ainsi , cherchons le rayon de courbure à l'origine pour la courbe dont l'équation est

On sait que, pour x très-petit, se réduit à «r; il reste donc

Quant au cercle , son équation sera

jc 7 = 2 R y

vi\ négligeant y 7 , ou bien

THÉORIE DES COURBES PLANES. 3oi

identifiant avec y = a?\ on trouve

ou bien

Ici, l'origine n'est pas un véritable sommet, car le cercle osculateur coupe la courbe.

VI. Nous avons admis , dans le paragraphe précédent , que le point pour lequel on cherchait le rayon de courbure était l'origine elle-même; c'est ce qu'il est toujours facile de supposer, en transportant les coordonnées parallèlement à leur direction.

Mais nous avons admis en même temps que cette direction des axes rectangulaires était celle de la tangente et de la normale à la courbe au point que l'on considère : on réalise cette supposition, si l'on changer en x cos a — jsina, etjen.rsina -hjcosa: de cette manière , on revient aux hypothèses du paragraphe précédent , a étant l'inclinaison de la tangente.

La courbe donnée étant donc tangente à l'axe des x y et son équation étant de la forme

o = kx 4- By -+- Gr 5 4- Dxy 4- E/ a 4- . . . ,

je dis d'abord qu'on devra avoir

En effet , divisons tout par x , il vient

o = A 4- B - + Cx 4- D y H- Rr • - 4- . . . .

Considérons l'origine où x = o , y = o , mais cependant où l'inclinaison de la tangente à l'origine étant nulle, on doit avoir

il reste alors

Cela posé , nous remarquerons encore que le terme Ey 2 est né-

302 CHAPITRE SEPT1ÈMK.

gligeable relativement à Day, car

D xy + Ey> = y (Dar -h Ey) , et si Ton divise par x la quantité entre parenthèses, on obtient

ce qui se réduit à D pour l'origine, d'après ce que Ton vient de voir. On peut donc négliger le terme en/ 1 devant le terme en xy. L'équation de la courbe près de l'origine est donc

o= r (B -f- Dx)-hCr\ ce qui donne

B-hDx

mais pour x très-petit on sait que cela se réduit à

Cx*

ce qui amène à négliger à son tour le terme en xy.

On a donc

équation qu'il faut identifier avec celle du cercle osculateur à l*origine , qui est

Enfin

— - = 2R, ou bien R = -•

Il y a inflexion si R = oo , c'est-à-dire si C = o.