b- t=z o, d'où cosw = — y

cos w b

Alors

tang(0 — w) = o,

ce qui prouve que est égal à l'angle w ou bien à son supplé. ment. On trouve aussi les tangentes an point où se croise la boucle.

Nous remarquerons dTailleurs qu'il est très-facile de construire graphiquement la tangente en un point quelconque par la consi-

THÉORIE DES COURBES PLAT* ES. 3oH

aération du centre instantané de rotation. Soit la sécante ÀM' M qui donne les points M' et M de la courbe ; élevez AC perpendiculaire à AM et DC perpendiculaire à OD ; ces droites se coupent en C, qui *st le centre de rotation : donc CM et CM' seront normales à la courbe.

Lieu des points tels, que le produit a 1 des distances de chacun d'eux à deux points fixes F et F' s oit constant.

Soit

FF'=2c,

on trouve pour équation

(.rM-,r , ) , + 2c , (r , -* ï ) = «< — r«.

L'équation polaire sera

p 4 — 2 c 2 p 7 cos 2 w = *** — c%

mais il se présente diverses particularités suivant les valeurs de a et de c :

i°. a < c ; on a deux courbes séparées.

2°. a = c; on a une courbe en forme de 8 qui s'appelle la lemniscate. C'est donc le lieu des points tels, que le produit des distances de chacun d'eux à deux points fixes F et F' est égal au carré a 2 de la moitié de FF'. Elle a donc pour équation

x* -f- y* H- 2a 2 (x 2 — 4r*)=o, ou bien p*"b= 2«* cos2w.

3°. a^>c. Ce troisième cas présente lui-même trois circonstances différentes, suivant que

a < c y/2 , a^> c v^2 ou a = cfa;

dans cette dernière supposition, on a une figure appelée opale de -Cassini,

Scarabée. — lies extrémités d'une droite de longueur constante ia glissant sur deux droites rectangulaires; d'un point fixe pris sur la bissectrice de ces axes on abaisse une perpendiculaire sur la droite mobile : trouver le lieu des pieds de ces perpendiculaires.

Soit b la distance du point fixe aux deux axes, et supposons

3o8 CHAMTEE SEPTIÈME.

les coordonnées transportées à ce point fixe comme origine, on a l'équation

(** H- y 7 )* -h b'(x -+ J'Y [** + y') — ia'x'jr* = o.

( Voir la Géométrie analytique de MM. Briot et Bouquet.)

Limaçon de Pascal. — Nous allons encore étudier la courbe connue sous ce nom , et qui sert pour ainsi dire de transition entre les courbes algébriques et les courbes transcendantes, parce qu'elle se rattache à l'épicycloïde.

Étant donnés un cercle de diamètre AO = a (fig. 5g) et un Fig.. 59. point A sur sa circonférence ,

menez une corde quelconque terminée h ce cercle en P, et prenez, h partir du point P, sur cette corde, la distance constante PM = PM'=6, le lieu des points M et M' est le limaçon de Pascal.

On voit immédiatement que c'est aussi le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées du point A sur les tangentes à une circonférence de centre O et de rayon 0B = b. Cela se reconnaît, parce que le rayon ON = ON' = b est aussi égal à PM = PM'. Du reste, le triangle rectangle APO donne

AP = acoso».

Ainsi l'équation de la courbe se présente sous la forme

p = â cos«± b\

mais il serait facile de faire voir,, par le raisonnement déjà employé pour la conchoïde, que tous les points M ou M' peuvent être représentés par une seule équation

p = a cos ai -+■ b , ou bien p = a cos *> — b. L'équation exprimée par les coordonnées sera x* -f- y 7 — ax= b ^x 1 -+- y* f ou bien p 1 — bp =r ax.

fRÉOBIK DES COURBES PLANES. &OQ

La courbe prendra diverses formes, suivant que Ton aura

Fig. 60. Fig. 61.

Fig. 61.

Si b^>a 9 la courbe ne passe point par l'origine; cependant cette origine en fait toujours partie comme point conjugué , car l'équation par les coordonnées est toujours satisfaite pour

jr = o.

On trouve

, m x — (a cbsw-1- b) tang (0 — 0») = — i -. — ?—± = —

a sin w ^2 — ( p — yy

ce qui se réduit, pour le troisième cas où a = b, à

tang (9 — m) =r — cot- w = 4 / t 5

3lO CHAPITRE SEPTIÈME.

ce qui lève l'indétermination et fait voir que le point A (/%. 62)

est un rebroussement de première espèce, où AO est tangente.

Oh verra, comme pour la conchoïde, que dans \& Jîg. 61,

au point A, pour lequel p = o et cosw = ? la formule

tang ( — w ) = o

fait voir que & est égal ou supplémentaire de », c'est-à-dire que

tes tangentes en ce point ont pour cosinus riz —

Enfin, nous indiquerons encore la manière de mener la tangente par la considération du centre instantané de rotation. Soit € ( fig. 59) le centre du cercle de diamètre ÀO = a , soit S Pextrémité du diamètre dont PC est la moitié, S sera le centre instantané de rotation , car le point P est mobile sur le cercle et l'angle PAS est droit; de sorte que AS est perpendiculaire à la sécante mobile. Donc SM , SM' seront normales à la courbe.

On a dû remarquer plusieurs analogies entre la conchoïde de Nicomède et le limaçon de Pascal. En effet, il est possible de trouver une courbe dont les deux lignes indiquées ne soient que des eas particuliers.

Du point quelconque O (fig. 63), menez au cercle de rayon Fi 8« 63. CA = R et de centre C une se-

tante OM qui coupe la circonférence en N et N, , et de part et d'autre de chacun de ces points, prenez les distances

NM = NM'= N, M, = N, M' t =b,

on demande te lieu des points ainsi obtenus.

Chacun des triangles OCN, OCN, donnera, en posant OA = a, la relation

ou bien, en observant que le double signe est inutile et qu'on peut ne garder que Tune des valeurs ± b y comme dans les deux

THÉORIE DES COURBES PLAlfKS. 3lf

courbes indiquées, puis réduisant, nous aurons

2 cos» (û -f R) (p + ^) = ^4- 2ûR + (p + b)\

Pour tirer de celte formule générale celle de la conchoïde, il faut diviser par R, puis poser R = oo , ce qui donne

2 COSw

ut ensuite

a \ a} (p + by

ï i + i)(i> + à) = ïr + * a +

2 cosw (p -+• b) = 2 a, ou bien p =

cos*>

ce qui est Tune des formes de l'équation de la conchoïde. Ensuite, si a = o, il reste

aRcoswfp -4- b) = (p-+- b)\

On a donc l'ensemble du cercle représenté par p = b, puisque te signe de b est indifférent , et de la courbe qui a pour à équation

p -f- b = 2 R cos w et p = 2 R cos o> — b ;

c'est Tune des équations du limaçon de Pascal.

Nous allons encore chercher la tangente à cette courbe (fig. 64 ).

Fig. 64-

Soit la sécante ONIS, coupant la circonférence aux points N et N, , et menez au point O la perpendiculaire SOS, à ONN, ; joignez NC

3n CHAPlTJtÊ SEPTIEME.

qui coupe SOS, en S , de sorte que SM et SM' seront des normales, puisque S est le centre instantané relatif au point N. De même r joignez N, G qui coupe SOS, en S, , centre instantané relatif à N, , yous aurez les normales S, M, , S, M' t »

On peut chercher quels sont les points H, h pour lesquels les deux portions de courbe se coupent; les points M' et M, se confondent au milieu delà corde NN, pour faire un triangle rectangle «dont Thypoténuse est

OC = a 4- R ,

ce qui donne , pour H et /* ,

p = (a 4- R) cos«.

Si donc, sur OC = a -h R comme diamètre , on décrit une circonférence, elle passera aux points H et h , quel que soit b , et aux points T et t de contact de la circonférence donnée avec les tangentéS menées du point O , ce qui correspond à b = o : les sécantes OH, OA au cercle de centre C donneront

405. Cycloïdes et épycicloïdes. — Nous allons examiner maintenant quelques courbes transcendantes.

I. Une des plus importantes est la cycloïde , dont voici la définition :

Un cercle de rayon CA = a [fig. 65) roule sans glisser sur iîne

Fig. 65.

THEORIE DES COU&BES FLANES. 3l3

droite DO ; un point fixe placé sur cette circonférence et partant du contact en 0, décrit la courbe nommée cycloïde (* ).

Prenons sur OD la distance 08'= 2 tta , c'est-à-dire égale à la longueur de la circonférence , il est clair que le cercle arrivé à cet endroit aura fait une révolution entière, et que le point B'sera sur la courbe , ainsi que ; après cela , la courbe continuant son mouvement, donnera une seconde courbe égale à la première, en sorte que la cycloïde sera composée d'une infinité d'arceaux égaux entre eux.

D'ailleurs, le milieu B d'un arceau sera à une distance de OD marquée par BD = 2a, puisque le point décrivant aura parcouru une demi-circonférence.

Il est facile de construire la courbe par points. Nous avons pris OB' t= 2 ira ; divisons la circonférence et OB' en un même nombre de parties égales, en 12 par exemple. Soit H le second point de division de la circonférence , et G le second point de division de la droite CL = OB' ; du centre G et du rayon GM = a décrivons une portion de cercle qui rencontre en M la parallèle HM à OD et à CL , je dis que M est un point de la courbe , car l'arc ME , de centre G, est évidemment égal à l'arc HO de centre G : on trouvera de même d'autres points de la courbe.

Comme le cercle roule sans glisser, on voit que le point £ de contact correspondant à M est le centre instantané de rotation; donc ME est normale et donne la tangente FM , F étant l'extrémité du diamètre EGF.

Prolongeons ME d'une quantité EM' égale à elle-même, et imaginons en dessous de OD un cercle égal au premier, roulant sur D' 0' parallèle à DO à la distance ia , mais roulant en sens contraire, c'est-à-dire de D' vers 0' : je dis alors que , si je consfdère ce nouveau cercle mobile dans la position du diamètre EG'F', prolongement de FGE, et si je prends M' pour le point mobile, il arrivera en O quand le cercle aura roulé jusqu'en 0\ En effet, Tare EM' = EM est égal à la droite EO, ce qui prouve que M' arrivera en en même temps que F' en O'. On voit , d'après cela ,

(*) Pascal s'est occupé de cette courbe, qu'à cette époque 011 appelait quelquefois la roulette.

que l'ensemble des points M' déterminera au-dessous de OD une autre cycloïde égale à la première , puisqu'elle est engendrée par un cercle égal, mais placée inversement , comme l'indique la figure. D'ailleurs, cette nouvelle cycloïde étant formée par les intersections consécutives des droites telles que EM', normales à la première courbe , sera la développée de cette première cycloïde , et la droite EM' lui sera tangente.

On remarque aussi que le rayon de courbure MM' est double de (a normale EM. Donc , en supposant un fil enroulé sur la développante OD', on voit que MM' sera la longueur de Tare OM', et, enfin , le double diamètre BD' est égal au demi-arceau OD'.

On peut encore établir un théorème remarquable relatif à la surface de l'arceau de cycloïde. {

Considérons les deux tangentes infiniment voisines à la développée NN', PP', qui sont en même temps normales à la développante, et soient n et p les points où elles coupent OB'. On sait

que N'/i est la moitié de N'N et P'/? = -P'P; or, les figures

NN' P' P , «N' P'/? pouvant être considérées comme des triangles

qui ont NP et np pour base , et un angle égal au sommet , seront

entre elles comme les produits des côtés qui composent cet angle ,

c'est-à-dire que