D'BB' = 4.D'DB

mais, en transposant le demi- arceau DBB' dans la partie inférieure, on voit que

D'BB' = D'DBT.

Ainsi , le demi-arceau D'B'I' est égal aux trois quarts du rectangle D'DB'I', qui a pour côtés t. a et 7c<z, et dont la surface est égale à 2. va* : donc

- arceau = - tz a 2 ,

ce qui fait voir que la surface d'an arceau de la cycloïde est trois fois celle du cercle générateur.

Quant à l'équation de la cycloïde , soit MGE = w , l'arc ME qui est égal à la droite OE = « w, et soient MR = y, OR = x y on

trouve facilement

x =r a (w — sin w) et /r=û(i — cosw);

d'où l'on tire

\liay— y 2

— = arc cos ( i — - 1 —

Nous indiquerons encore deux propriétés mécaniques de la cycloïde.

Cette courbe , en la supposant renversée de manière que le sommet B soit au bas du diamètre supposé vertical, est la brachistochrvnéy c'est-à-dire qu'un mobile pesant doitsuivre une cycloïde pour descendre d'un point à un autre dans le plus court espace de temps.

Cette courbe est encore tautochrone ; ainsi , quel que soit le point de la cycloïde où Ton place un mobile pesant , il mettra le même temps pour descendre au sommet inférieur. Huyghens avait cherché à utiliser cette propriété pour régulariser le mouvement des pendules dans les horloges.

H. On peut imaginer qu'un point intérieur ou extérieur au cercle roulant, et attaché fixement à son centre, tourne en même temps que ce centre; alors il engendre une cycloïde raccourcie, ou bien une cycloïde allongée.

Les fig. 66 et 67 indiquent suffisamment la forme de ces

Fig. 60. .

Fig. 67.

3l6 CHAPITRE SEPTIEME

courbes , ainsi que la manière de les construire par points, et même de trouver la tangente par le centre instantané de rotation.