AXES PRINCIPAUX DBS SECTIONS CONIQUES
109. I. Nous terminerons ces considérations sur les courbes planes en cherchant, dans le cas le plus général, la grandeur et la direction des axes principaux des courbes du second degré. Les ouvrages où l'on étudie ces courbes ne résolvent d'ordinaire cette question que dans le cas où les coordonnées primitives sont rectangulaires. 11 peut être utile d'effectuer cette transformation, même en partant de coordonnées obliques. On sait d'ailleurs que la solution de ce problème donne immédiatement tous les autres éléments des courbes , tels que foyers, asymptotes, etc.
Prenons donc l'équation générale des sections coniques
( i ) ay* •+- bxy -+- ex 1 -+- dy -f- ex -k-fz= o ,
l'angle des coordonnées étant représenté par 0. Nous supposerons d'abord que la courbe a un centre dont les coordonnées sont x x ety t ; on sait alors que, si l'on change x en x-\- x t et y en y H-ji, pour transporter l'origine au centre, l'équation devient , avec ces nouvelles coordonnées parallèles aux premières,
(2) ay 7 -h bxy H- ex 7 = H ,
en y joignant les relations
2 ae — bd 0* — 4 ac led — be
H = — / — ±(dy t H- car,).
II. Nous allons donc appliquer à l'équation (2) les formules qui servent à passer d'un système oblique à un système rectangulaire. Nous supposerons que l'angle ô des anciens axes est un angle aigu; s'il en était autrement, nous changerions y en — y, pour rentrer dans celte hypothèse. Les nouveaux axes font avec les anciens les angles a et a' = go° -h a , et nous choisirons, pour le nouvel axe des abscisses, celui dont la partie positive fait avec la partie positive de l'ancien l'angle a <90° (*).
En admettant ces suppositions, nous avons
X sinn -f- Ycosa Xsin(0 — a) — Ycos(0 — a)
sm ô sm G
formules dans lesquelles X et Y représentent les nouvelles coordonnées.
( * ) On prend pour parties positives des nouveaux axes les portions de ces lignes qui sont du même .côté que la partie positive de l'ancien axe des ordonnées , relativement à l'ancien axe des abscisses. Par conséquent, a et a' sont toujours plus petits que 180 degrés dans toutes les transformations de coordonnées.
THEORIE DES COURBES PLANES. 32g
Nous devons donc identifier avec l'équation la plus simple des coniques à centre ,
(3) ÎJ + B^ 1 '
le développement obtenu en substituant dans l'équation (2) les valeurs précédentes de x et j; nous déterminerons a ainsi que A* et B'.
Ce développement sera
a sin 3 a ■+■ c sin* (0 — oc
-+- b sin a sin (6 — a)
X'+3rt sin a cos a
— 3csin(0-— a)cos(0 — a)
, { sin (0 — - a) cos a ( — cos (0 — a) sin a
X Y 4- a cos' a
c cos* (6 — a)
— b cos a (0 — a)
Y'=Hsin*0.
D'abord , pour faire disparaître le rectangle XY, il faut égaler son coefficient à zéro, ce qui donne
(5) b sin(0 — 2 a) = c sin 2 (0 — a) — a sin 2a;
équation que l'on peut transformer de la manière suivante : soient
2(ô — «)=(© — 2a) -f-Ô et — 2a = (0 — 2<x) — 0,
nous aurons, en divisant par sin (0 — a a),
b = c cos -4- c cot (0 — 2 a) -f- a cos 8 — a cot (0 — 2a) ;
d'où
(a -h c)cos0 — 6
*cot(0 — 2 a) =
(a — c) sinO
relation qui est également vraie pour cot(0 — 2 a) et pour cot(0 — 2 a').
Il sera facile de calculer la valeur de a : si cot (6 — 2«)>o, soit
il vient
si cot(0 — 2a)<^o, soit
on a
quantité toujours pins petite que go degrés. En effet, on a supposé d<go # , et ? est aussi aigu, puisque les Tables donnent toujours pour cet angle une valeur comprise entre o et 90 degrés. D'après cela , on calculera le coefficient
sina m :
sin(Ô — a)
dans Téquation Y = j»X du nouvel axe des abscisses; on aura de même, dans l'équation Y = ui'X du nouvel axe des ordonnées, le coefficient
, sin a! cos a
sin(ô — a') cos(ô — a)
puisque
a = go° -h a.
ni. Après avoir obtenu la direction des axes , il faut trouver leur grandeur. Posons
nous remarquerons d'abord que, si Ton change le signe de tons les ternies de l'équation (2), on change aussi ceux de \ et de V, mais non ceux de A* et de B*. Si donc les valeurs que nous trouvons pour A? et B 3 sont positives, la courbe sera une ellipse ; si elles sont négatives, la courbe sera imaginaire ; enfin , si A 1 et B' sont de signes contraires, nous aurons une hyperbole ( *). Seule-
( *) Nous laissons de côté le cas où Ton aurait H = o. Alors il n'y a pas besoin de calculs, et l'équation (2) devient
am* -+- mb -+■ c = o,
y en posant m = - ; il en résulte
— b±:^b* — t+ac m =■ — •
la
Par conséquent, la courbe se réduit à un point, qui est l'origine, si b x — 4 ac <£ o ; à deux droites passant par l'origine si b* — 4 ac > ° î enfin , ces droites se réduisent à une seule si b % — l\ac = o; mais ceci rentre dans |c cas des paraboles' que nous étudierons plus loin.
ment, il n'y a pas de raison pour que les foyers se trouvent sur l'axe des abscisses plutôt que sur celui des ordonnées.
Nous verrons bientôt que A 3 et B 2 sont de même signe ou de signe contraire, suivant que Ton a
mais nous nous contenterons d'énoncer le résultat suivant : soit
P* == [ b — (a +■ c) cos 0]» ■+• {a - cf sin'0 = [(* + c ) — £cos0]*H-(&* — 4<w)sin'0 = (a — c) 2 + (b — la cos0)(£ — 2ccos0);
les deux valeurs de m sont
a — c±V b — 2 « cos et celles de a sont
a -f- c — b cos ïfc P
2 sin*
en prenant de part et d'autre le même signe pour le radical. Les valeurs de a que nous allons obtenir sont plus faciles à calculer par logarithmes.
Çn identifiant les équations (3) et (4), on trçuve
a sin'a -f- c sin* (0 -a) + è sin asin(0 — a) i
Hsin 3 ~A*'
ou bien
Asin'0 = a sin* a -+- csin'(0 — a) -h b sinasin(0 — a).
Mais l'équation (5) donne
, csin2(0^fl) — «sin 2 a
sm(0 — 2 a)
et la valeur de a sin 2 se décomposera en deux parties, dont l'une aura le facteur a et l'autre le facteur c ; la première sera
. . f 2 cos a sin (0 — a)l — a sin' a sin
a Sin» ai r—rz — * ■ I = . , r- »
I sin(0— 2a) J sin (0 — 2a)
car
De même la seconde sera
c sin- (© — a) sin© sin ( G — 2a) ce qui donne
.» c sin*( ô — a) — a sin'a
*'' sin©sin(G — 2a)
On aura de même
Q . , flCOS'a — ccos*(G — a)
sin ô sin (ô — 2a)
soit en opérant directement sur le coefficient de Y 1 , comme on vient de le faire sur celui de X', soit en changeant dans P équation (7) a en a' = 90 -f- a, et réduisant.
On peut transformer l'expression de a en posant
<rsin'(Ô — a) — a sin 3 a = a [sin'fG — a) — sin* a]
-h (c — a) sin*(G -»- a),
et en observant que
sin* (6 — a) — sin 3 a est égal à
[sin (G — a) — sin a] [sin(G — a) ■+- sin a] = sin G sin (G — 2 a).
Alors l'équation (7) devient
, x . (c — a) sin* (6 — a)
KW sinGsin(G — 2a)
Mais on peut aussi poser
csin*(G — a) — /isin'a = c[sin* (G — a) — sin' a] -+-(c — a) sin* a,
ce qui donne
t \ 1 (c — ii)sin a a
sin ô sin (G — 2 a)
De même l'équation (8) se transformera dans les expressions suivantes :
y8s< (c-«)cy(»-,) ' sin© sin (Ô — 2 a)
ou bien
(c— fl)cOS 3 a
1 ' sinô sm(ô — 2 a)
En résumé, on trouve a par l'équation ;6), X par les équations (9) ou (10), et V par les équations (il) ou (12), sauf dans quelques circonstances que nous allons examiner (*).
IV. Cas particuliers. — i°. Les expressions précédentes de a et de y deviennent indéterminées si Ton a
ce qui donne
sip (9 — 2a) = o,
comme on peut le voir par l'équation (6). On a donc
= 2a, ou bien
a = - et a'=rQO°H
Par conséquent
(*) En ajoutant les coefficients de X' et de Y 1 dans l'équation (4), on
trouve
(AH- À')sin'0 = a -+- c — cos0.
Retranchant l'équation (1 1) de l'équation (9), on a
sin $ sin (0 — 2 a) Observant que
. %ttt ; = l ■+■ cot* (0 — 2 a ) ,
sin' (0 — 2 a) N '
substituant d'après l'équation (6) et réduisant, on trouve
v ' sin*
ce qui justifie ce que nous avons dit relativement à l'influence du signe de \ae — & s Mir ceux de A' et de B*.
334 CHAPlïEE SEPTIÈME.
ce qui donne
de même
sina sm(0 — a) '
cosat m' = — , . r = — i .
C0*(*— Cl)
Observons ensuite que l'équation (6) donne
c — a b — (fl4-r)cos0
sin(0 — 2 a) sin0cos(0 — 2 a)
et l'expression (9) devient
sin 3 (0 — a)[b — (a-+-c) cos0l sin a 0cos(0 — 2 a)
Si maintenant nous avons
c = a, = 2a et 9 — a =r a ,
i! reste
b — 2, a (cos* a — sin* a ) la -\- b
4 cos 7 a 4 COS 3 a
ou bien
la -f- £
4 cos 3 -
On aura de même
4 sin 3 - ^ 2
