La relation (6) nous fait voir encore que, si Ton a
b = (a -f- c) cos ,
il en résulte
cos (0 — 2a) = o.
On pourrait poser
— 2a = go°,
c'est-à-dire
= go° -4- 2 a ;
mais comme nous avons supposé, en commençant, que était aigu,
THÉ0R1K DES COU&BBS f LA H ES. 335
nous prendrons
ce qui donne
a = 45°-t-- et a'=i35°H
D'ailleurs
donc
Mn(ô — a) = — cosa,
d'où
tang — h tang 4^ m = — tang a = —
tang - tang 45 — i
Or
et l'on trouve
tang 45° = i ,
i -f- tang -
tang i
On aura de même
tang i
cos a ° 2
m'= r - = — cota= •
CO3(0 — a) ô
v ' tang - H- 1
Ensuite, ajoutons les deux expressions (9) et (10); nous aurons, à cause de
sin(ô — a) = — cosa et de sin(Ô — 2 a) = — 1,
la relation
(i5) aX = g +c~ > , L
Les expressions (1 1) et (12) donneront de même
(16 aV=fl +C + -T-
* ' sm »
3°. Enfin , si Ton a à la fois
a = c et b = (a -f- c) cos G,
ce qui devient alors
b = na cos G,
la direction des axes est réellement indéterminée, parce que la courbe est une circonférence. En effet, l'équation (2) se réduit
alors à
y 7 -+- 2 xy cos G -f- x 1 = — ?
et représente un cercle réel ou imaginaire, suivant que — est
positif ou négatif; le rayon est
V. Coordonnées rectangulaires. — Si maintenant les coordonnées primitives sont rectangulaires, il suffit de poser dans toutes les formules précédentes
Alors l'équation (6) devient
(17) ttn g 2a = -— .
Nous avons ensuite, à cause de la formule connue
tang a = — cot 2 a rt ^1 -h cot 2 2 a ,
et en remarquant que m = tang a est positif, puisque l'angle a est
aigu ,
m = y i -f- cot* 2 a — cot 2 a ,
ce qui donne On aura de même
Pour obtenir X , ajoutons les équations (9) et (10); nous avons,
THEOEIK DIS COU&BBS PLANES.
à cause de
cos2a
Mais l'équation (
17) donne
COS 2 a
sin2a
on a donc
2X = a -f- tf
sin 2 a Les équations (1 1) et (12) font trouver de même
sin 2 a
Enfin, l'égalité
— = y 1 + cot J 2 a.
sin 2 a
ou sin 2 a > o puisque a < go°,donnera
Le cas particulier où c = a donne ici
m = 1, i7i' = — 1; d'ailleurs l'égalité (17) montre que
c'est-à-dire que les nouveaux axes sont les bissectrices des anciens.
Comme alors
sin 2 a = 1 ,
les expressions ( 20 ) et ( 2 1 ) deviennen t
2)l=2fl + ^ et 2 V = 2 fl — b,
comme on pourrait aussi le conclure des équations (i3) et (i4).
338 CHAPITBB SEPTIEME.
Le second cas particulier que dous avons considéré revient à
b = o pour 9 = 90 ;
mais alors il n'y a pas de calcul à faire, car les axes donnés sont justement ceux que Ton cherche, puisque l'équation
aj 7 -\- ex 1 = H,
relative à des axes rectangulaires , présente la forme que l'on veut obtenir : d'ailleurs il reste alors, d'après les équations (i5) et (16),
VI. Pababoles. — Supposons maintenant que la courbe représentée par r équation ( 1 ) n'ait pas de centre , ce qui arrive quand
L'angle des coordonnées primitives étant quelconque et égal à 9, cherchons des cordonnées rectangulaires pour lesquelles l'équation de cette courbe soit de la forme
(24) Y*=4FX.
Mais il faut ici changer l'origine des coordonnées et poser
X sin a -f- Y cosa
sinô
(*) L'équation cherchée
A* ^ B s devient ici
flX'-4-cY» = H,
c'est-à-dire qu'on a changé x en Y et.r en X. Cette permutation , qui est évidemment inutile dans ce cas particulier, tient à ce que Ton a fait usage des formules (i5) et (16) qui supposent, comme on l'a dit en commençant, $ < 90 , ce qui a donné, dans cette circonstance ,
sin (0 — 2a) = - 1.
Ici, en effet, la relation
$ — 2 ec = — 90 donne
ot = 90^ pour = 90*.
THÉO AIE DM COURUES PLAIfHS. 33q
et
Xsin(0 — a) — Ycos(ô — a)
x=zx H : — •
sm9
Pour abréger les calculs, nous rappellerons qu'on sait d'avance que la nouvelle origine est un point de la courbe, et que le nouvel axe des abscisses est un diamètre. Seulement , comme l'angle a est déterminé par cette condition, on conçoit que cet angle, formé par la direction positive de cet axe avec la partie positive de l'ancien axe des abscisses, n'est pas toujours un angle aigu comme dans le cas des courbes à centre. Maintenant aussi l'angle pourra être indifféremment aigu ou obtus. Du reste, il n'y a pas de raison pour que cette direction positive de Taxe des X aille du sommet au foyer, comme dans la position ordinaire de la parabole , ou bien en sens contraire; cela dépendra du signe de F.
Il -est impossible, à cause de la relation
b* — 4 ac == ° »
que les coefficients des carrés des coordonnées soient nuls tous deux dans l'équation (i); en effet, on aurait alors à la fois
c'est-à-dire que la courbe ne serait plus du second degré.
Nous devons donc supposer que l'un de ces coefficients, a par exemple, n'est jamais nul , sauf à changer, s'il le faut, x en y et réciproquement. Divisant alors toute l'équation par a y après
avoir remplacé cpar y— ? cette équation deviendra
/ ~\ f bx\* d e f
• y la) a J a a
Le nouvel axe des abscisses étant un diamètre, son équation sera de la forme
34<> CHAP1TKB SEPTIEME.
B étant une quantité qu'il faudra déterminer, et nous devons poser
sina b
sin(0 — a) un
Or les formules de transformation nous donnent
/H *=jr H x H--t-t I sin a H smfô — a) |
2 a la sin ( 2 a ' J
[cosa cos ( ô — a) I • 2a J
On voit que le coefficient de X est nul : celui de Y revient à
cos a sin (ô — a) -+- sina cos(ô — a) i
sin0sin(9 — a) sin(ô — a) 7
il reste donc
sinO
2 a 2 a sin(0 — a)
Observant ensuite que
2fl / a a a
puisque la nouvelle origine est un point de la courbe, l'équation (25) deviendra, après sa transformation ,
sin (Ô — a) sin'ô (ô — a)
x \ d . . * • m vi Y r rf * /* xi
t— r - sin aH — sin (9 — a) -r--^-;| -cosa cosfô — a) |=o.
in 6 [a a v 'J sin9 La a v 'J
( * ) De là on tire
cos —
cot a = :
cette formule est plus simple, pour déterminer a, que la relation (6),
b x laquelle , du reste , est toujours vraie en remplaçant c par 1 — ; car on
pourrait faire évanouir le rectangle xy en opérant direetement sur l'équation (i), et les termes du premier degré n'auraient aucune influence sur le résultat.
Le coefficient de Y devant être nul, on a
2 fH x - cosa - cos ( — a )
Y la ) a a K '
sm(0 — a) sinO
ou bien
, t b , sin(0 — a)[ccos(0 — a) — rfcosa]
ia 2 a sin
on connaîtra donc, dans l'équation ( 26), la valeur de l'indéterminée B par la relation
sin(0 — a)[<?cos(0 — a) — ^/cosa]
2 a sin
Le numérateur de cette expression peut s'écrire ainsi
- sin 2 (0 — a) — t/ cosa sin (0 — a).
Mais nous avons
sm(0 — a) = 7- sm a
et ce numérateur devient
e . . ad , be sin 2(0 — a) -f-"2 ar/ sin 2 a
-sui2(0 — a) 4-- r sin2a = T :
2 v ' b ib
donc enfin
àe* sin 2(0 — a) -+- 2 ik/ sin 2 a
4 a£ sin
Nous pouvons donc regarder B comme une quantité connue, et
par conséquent nous aurons, pour déterminer les coordonnées x f
et y de la nouvelle origine, deux équations, dont Pune ne sera
autre chose que l'équation (26) dans laquelle on aura accentué les
variables, ce qui l'identifie avec l'équation (27), et dont l'autre
s'obtiendra en remplaçant dans l'équation (25), également accen-
, / ba/V tuée, le carré ly H ) par sa valeur B% ce qui donnera
(28) *B 2 -f- dy'-+ £r'-H/= °.
L'élimination entre les équations ( 26) et (28). donnera donc le» valeurs de x' et de r' qui seront
et
{ } J bd—zae
Dans l'équation (24) , le coefficient de X sera, d'après le même développement ,
, sin 7 (9 — <x.)Vd . e . , '1
4F== ST5— L«* m ""*" = " n( } J"
Mais
ce qui donne
sina = sm(& — a),
2fl '
4 F = - sin ' (a - tt) ( g -^V
asinô \ la)
ou encore
(3i) 4F = sin3 ( Q — *)(*<* ~ 2^) /*,
2 rt* sin 9 '"
Ces formules suffisent dans le cas général ; mais, si ô = 90 , il faut
(*) Si fc = o, l'égalité
sin a h
sin ( 6 — a ) ia
donne
et l'expression (27) reste indéterminée; mais la valeur précédente de B devient alors
„ e cos 6 — d
D rr. ■ ■■■ •
'la L'équation (3o) nous donne
de même les équations (29) et (3i) montrent que
a-' =3 — L — î '- '—^ et que L¥ = ♦
THEORIE U«$ COUftBES PLANES. 343
pouvoir faire les calculs sans le secours des logarithmes. Alors
2(0 — <*)= 180 — 2a; donc la formule ( 27 ) devient
sin 2 a ( be -f- 2 «ïrf)
B= ça '
et d'ailleurs
tança = •
Mais sin 2 a est toujours du même signe que tanga, car
sin 2 a
= 2 tanga;
cos 1 a b '
par conséquent
4 ob
sin 2a = — r, , / ; >
et l'on obtient
{be~+- lad)
On substituera encore cette valeur dans les expressions (29) et (3o)» Quant au coefficient 4 F, il se réduira à
cos 3 a ( bd — lae)
Or
cos a =
2fl 2
vA
vV-+-4û*
: — rrr: — r= — 1
et
cos 3 a = -y
ce qui donne
Mais ici le radical a deux signes, et pour choisir celui qui convient, il faut se rappeler que le cosinus est toujours du même signe
