CHAPITRE HUITIÈME. — APPROXIMATIONS NUMERIQUES

1 10. Le sujet qui va nous occuper est traité dans la plupart des Arithmétiques modernes; mais souvent les auteurs de ces ouvrages se proposent de mettre les candidats à l'abri des difficultés d'un examen plutôt que de faciliter réellement les calculs, et nous croyons qu'il est possible , sans négliger la théorie , d'exposer ces questions d'une manière quelquefois plus simple.

I. Nous commencerons par rappeler un principe bien connu , mais d'une telle importance, qu'il ne faut jamais le perdre de vuç. Quand on connaît un nombre avec plusieurs décimales, dont on veut seulement conserver quelques-unes, il faut avoir égard à celles que l'on efface pour savoir si l'on doit augmenter d'une unité le dernier chiffre conservé ou bien le laisser tel qu'il est.

Supposons, par exemple, qu'on demande 71 avec quatre décimales. On sait que

mais, si l'on efface les chiffres 926535897932 . . ., la quantité que Ton supprime étant plus grande que o , ooooS , c'est-à-dire supérieure à la moitié de V espèce cC unités que Von conserve , on fera une erreur moins grande en forçant le chiffre des dix-millièmes qu'en le laissant tel qu'il est; donc il faut poser

ir = 3,i4i6.

Au contraire , si l'on veut garder huit décimales et effacer les chiffres 35897932 . . . , la portion supprimée étant plus petite que o,oooooooo5, c'est-à-dire inférieure à la moitié de V espèce d'unités que Von conserve, on fera une erreur moins grande en laissant tel qu'il est le dernier chiffre conservé que si l'on augmentait ce

chiffre d'une unité; il faut donc e'crire

On pourrait être dans le doute si le premier chiffre effacé était un 5, mais comme il est généralement suivi de quelques autres chiffres, la partie supprimée est plus grande que la moitié de l'unité que l'on conserve , ce qui permet de poser la règle suivante :

Quand le premier chiffre supprimé est inférieur à 5, il faut laisser tel qu'il est le dernier chiffre conservé'

Quand le premier chiffre supprimé est égal ou supérieur à 5, il faut forcer le dernier chiffre conservé, c'est-à-dire V augmenter (Vune unité.

II. Voici encore un principe que Ton doit observer dans toutes les approximations.

Pour compter sur le dernier chiffre, il faut en calculer un de plus, qui servira à voir, d'après la règle précédente, s'il faut augmenter ou non le dernier chiffre ; ensuite on effacera ce chiffre supplémentaire qui peut ne pas être exact, parce qu'il dépend luimême de ceux qui devaient le suivre (*).

III. Lorsqu'on donne une , deux , trois . . . décimales d'un nombre, on dit que ce nombre est approché à un dixième, un centième , un millième près, ce qui signifie que l'erreur est moindre qu'un centième, qu'un dixième ou qu'un millième. Ainsi, dans le nombre 24,3526 dont on ne connaît que quatre décimales, l'erreur peut être représentée par 0,0001, c'est-à-dire par une unité de V ordre du dernier chiffre.

IV. Mais on peut encore indiquer l'erreur d'une autre manière aussi exacte, et plus avantageuse parce qu'elle en donne

(*) Quel que soit ce chiffre supplémentaire, si 011 le néglige, le nombre est trop petit, mais devient trop grand si , au contraire, on augmente d'une unité le dernier chiffre conservé. Par conséquent, pour renfermer un nombre entre deux limites différant d'une unité d'un certain ordre, on calculera le chiffre de cet ordre, ce qui donnera la limite inférieure; ensuit* on y ajoutera une unité pour obtenir la limite supérieure. Mais l'on n'emploie dan* les calculs que la plus approchée de ces deux limites.

une évaluation moitié moindre. Puisque 24,3520 est la valeur approchée (en plus ou en moins, peu importe) du nombre que Ton considère , et que le dernier chiffre 6 est celui des dix-millièmes, après qu'on Ta forcé, si cela a été nécessaire, on conçoit, d'après ce qui précède, que la partie négligée est inférieure à la moitié d'un dix-millième, et qu'on peut l'indiquer par o,oooo5. De là on conclut que Y erreur est encore représentée par une demiunité de V ordre du dernier chiffre \

V. Pour montrer si une quantité approximative est en excès ou en défaut, voici un usage qui commence à se répandre. On indique par un point placé sur la dernière décimale à droite que la valeur du nombre est trop forte d'une quantité moindre que la moitié de cette dernière unité décimale ; cela étant admis, l'absence du point indique que la valeur du nombre est trop faible d'une quantité moindre que cette demi-unité. D'après cela, les deux valeurs de n que nous avons données précédemment pourront s'écrire de la manière suivante :

3,?4i6 et 3,!4i59265.

VI. D'un côté , il faut chercher toujours à rendre l'erreur aussi petite que possible; mais de l'autre côté on ne doit jamais compter sur une approximation plus grande que cela n'est permis : aussi quand plusieurs quantités font partie de C erreur 9 la plus grande de ces quantités doit être prise pour mesure de V erreur quant à C ordre des unités.

En général , quand on doute entre deux évaluations de l'erreur, il faut se mettre dans le cas le plus défavorable , c'est-à-dire prendre la plus grande.