ET RÉCIPROQUEMENT

111. I. On peut demander une longueur à un décimètre, à un centimètre, à un millimètre près; c'est ce qu'on appelle une approximation absolue. On peut la demander, au contraire, à un dixième, à un centième, à un millième près de sa valeur; c'est alors une approximation relative.

L'approximation relative est souvent la plus importante , parce que la même approximation absolue serait quelquefois trop minutieuse et quelquefois insuffisante , suivant la nature des quantités. Par exemple, ce serait trop exiger que de demander une précision d'un millimètre dans les dimensions d'un édifice , mais cette précision même serait très-insuffisante dans l'évaluation du diamètre d'un tube thermométrique.

Cette distinction s'applique évidemment à toute espèce de quantités autres que des longueurs.

II. Outre cela , il est bon que l'unité choisie soit en rapport convenable avec les grandeurs que l'on mesure. Si l'unité était trop petite relativement à une quantité, cette quantité aurait dans son expression un trop grand nombre de chiffres entiers : si , au contraire, l'unité était trop grande, cette quantité aurait trop de zéros avant ses chiffres significatifs. Ainsi, il vaudra mieux exprimer le diamètre de la terre en kilomètres qu'en mètres.

III. L'arithmétique parvient à donner, comme nous le verrons bientôt, une approximation absolue en fractions décimales de l'unité que l'on a choisie ; voici donc en quoi consiste le problème que nous devons nous poser maintenant :

On demande qu'une quantité soit obtenue 'avec une certaine approximation relative ; quelle sera l'approximation absolue correspondante ?

Pour résoudre ce problème , ainsi que tous les problèmes d'approximation , rappelons-nous ce principe évident :

Quand on cherche la valeur approchée d'une quantité, il faut toujours admettre que l'on connaisse la nature de ses plus hautes unités.

D'après cela, si Ton demande d'obtenir, à un dix-millième près de sa valeur, un nombre compris entre 10 et 100, avec quelle approximation absolue faut-il le calculer?

L'erreur sera comprise entre le dix-millième de 10 et celui

i » » t. IO I0 ° i . *

de ioo, cest-a-dire entre et , ou bien entre

i oooo i oooo i ooo

et j mais, pour que cette erreur soit la plus petite possible,

nous chercherons l'approximation absolue à un millième près.

Le raisonnement serait le même si la quantité que l'on considère était plus petite que l'unité. Par exemple, si elle est comprise entre o , i et o ,01 , en exigeant toujours que l'approximation relative soit obtenue à un dix-millième près , Terreur sera com-

. Ainsi , pour que cei

prise entre et . Ainsi , pour que cette erreur soit la

ioooo roooo

plus petite-possible, nous la représenterons par — , c'est-àdire que nous la calculerons à un millionième près.

En général , si l'on demande l'approximation relative, à — r de

ÎO'"

sa valeur, d'une quantité comprise entre io a et io a4 l , l'approximation absolue sera indiquée par

,0 " = io«-' =

io/ 3 IO^~ a

Si la quantité est plus petite que l'unité, a est négatif.

IV. La quantité A , dont on cherche l'approximation relative r

à près de sa valeur, de sorte que r = — - , est souvent donnée

i oP 1 0'

entre des limites plus resserrées que io a et io"" 4-1 . Soient A'

et A" ces limites, de sorte que A'<1 A<1 A" ; l'erreur absolue a

devant donc être comprise entre — - et — - » on cherchera la

io° i o "

quantité A avec une approximation marquée par la plus petite

A' de ces quantités, c'est-à-dire par a = — -, ou bien a = A'/*.

io^

V. D'après ces préliminaires , nous supposerons toujours dorénavant que toutes les questions d'approximation relative sont ramenées à des questions d'approximation absolue. Cependant , il faut aussi résoudre le problème inverse, c'est-à-dire : Connais-

35o CHAPITRE HUITIÈME.

sant l'approximation absolue d'une quantité, trouver l'approximation relative. D'après ce que Ton a vu, et d'après la définition même , Y erreur relative r est égale à l'erreur absolue a divisée par

le nombre A. Par conséquent, r sera compris entre — - et — ->

A' et A" étant toujours deux nombres qui comprennent A. Pour

ne pas supposer dans r plus de précision qu'on ne le doit, il faut

prendre la plus petite expression de A, qui est A'. ,

112. Nous allons maintenant passer en revue les opérations élémentaires de l'arithmétique, et voir quelles simplifications les méthodes d'approximation peuvent y apporter.