X = OL

fl+ ï+^T'

et soit

En représentant par — la partie non périodique

et par — la réduite précédente, nous aurons

valeur dans laquelle y est connu par un radical du second degré, ainsi qu'on vient de le voir.

On fera disparaître facilement le radical du dénominateur ; car

ce dénominateur étant de la forme ^m •+■ *, il suffira de multiplier haut et bas par ^m — n; donc x résultera aussi d'une équation du second degré.

Ainsi , le théorème étant démontré d'une manière générale, la fraction continue périodique conduira à une équation du second degré dont les coefficients sont rationnels. Cette équation et la proposée ayant une racine commune, leurs premiers membres ont un commun diviseur : or, ce commun diviseur ne peut être qu'un facteur rationnel, puisque les coefficients de l'équation proposée sont commensurables, et d'un autre côté les deux facteurs de l'équation du second degré qu'on a obtenue sont irrationnels, puisqu'on suppose toujours que l'équation proposée est débarrassée de ses racines commensurables; il faut donc que le premier membre de cette équation du second degré soit lui-même un facteur de l'équation proposée. Ainsi, on connaîtra immédiatement une seconde racine, et, en effectuant la division, on n'aura plus à considérer qu'une équation dont le degré sera inférieur de deux unités au degré de la proposée.

22. Nous ne pouvons nous arrêter à discuter les deux racines «le l'équation à laquelle conduit une fraction continue périodique, ni à démontrer le théorème inverse du précédent, qui consiste en - ce que toute racine d'une équation du second degré à coefficients commensurables se développe en fraction continue périodique , mais nous énoncerons quelques résultats très- simples de cette nature, et qui pourront être utiles dans certains calculs.