III- Enfin 9 soit à développer x = ^z'-t- 2; on a
a s O a 4- 2<(<T-M)% puisque a ^>i. Donc
« < si à 1 4- 2 < a 4- 1 et ^û , -|-2 = ûH
Par conséquent
et
D'ailleurs
\/tf a 4- 2 — * 2
ou bien
ce qui donne
1 i da* 4-24-/1 i/«*4- 2 — « = <H — et - = a = : •
On a donc
■ ; = V fl '+ 2 4-«
cl , par suite ,
u d'où Ton tire
- = z — 2fl= y a* -f- 2 — a = —
La valeur cherchée est donc
Nous prendrons comme exemple
25. Nous avons déjà exposé les méthodes de Newton et de Lagrange pour obtenir par approximations successives les racine% d'une équation algébrique ou même transcendante. On parvient au même résultat parla méthode des parties proportionnelles que Ton appelle encore règle de fausse position, et ce procédé est même un de ceux que Ton emploie le plus dans la pratique.
Cette méthode consiste à supposer que les accroissements de la fonction sont proportionnels à ceux de la variable. Soit
et cherchons la "racine x 9 telle que y % —f(xi) = o; en admettant <Jue cette racine soit la seule comprise entre x t et .r,. Posons
j ( =r/(.r ( ) et jr, =/(*,);
nous devons admettre , du moins pour une première approximation , que Ton a
APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. l\Z
ou bien , puisque j = o ,
On en tire
et enfin
Xi X 7 •— Xç
•^0 (.Xl y?) == #3 Y\ "" " '^1^3 >
Cette valeur peut s'écrire encore sous les deux formes suivantes :
•* o — — jt | ~ ~* - ei JCo î » jtj ^~" —~ ~ *- ■— ~~ -~~ ~ — •
Oh voit que cette méthode tient à la règle de Bernoulli, c'est-àdire aux principes fondamentaux énoncés dans le chapitre I er .
Il est clair que cette première approximation ne donne pas pour x la valeur exacte de la racine ; la substitution de x donnera la valeur y qui ne sera pas nulle, comme nous l'avions supposé tout à l'heure; par conséquent on resserrera la racine entre x Q et celle des deux valeurs x t et x 2 qui comprend la racine avec x . En continuant de la même manière, on arrivera à une approximation rapide et facile, car les calculs seront plus simples que par la méthode de Newton, puisqu'il n'est pas nécessaire de faire de substitutions dans la première dérivée (*).
24. Nous prendrons pour exemple l'équation suivante, traitée parfiauss,
3432 xi — 1 20 1 2 x H -f- 1 6632 x* — 11 55o x* -+- 4200 x 3 — 756 x 3 4- 56*r — 1 = 0. *
I. La première racine, c'est-à-dire la plus petite, est comprise
( * ) La racine cherchée est comprise entre la valeur que donne cette méthode et celle qu'on obtient par la méthode ordinaire de Newton , telle qu'elle a été exposée dans le n° 15. Voir YAlgèbrc de M. Briot.
entre x = o , qui donne
y = — i et x = o, i , qui donne
Mais ces premières valeurs de x étant encore trop éloignées pour appliquer la formule avec avantage, on arrivera, après quelques substitutions, à trouver
x x = o,025 et * a =o,o3, d'où Ton tire
y t = — 0,0112272 et j, = o,io4o4> ce qui donne
x , ou plutôt J? 3 = o,02547* Il vient
on doit donc resserrer la racine entre x, et x à \ on aura
x k = 0,0254462 et y A = 0,00000507.
Comme cette valeur de y k est très-petite, on peut regarder x K comme suffisamment approché et poser
II. La seconde racine est comprise entre 0,1 et 0,2. En prenant ces valeurs pour x { et x, , on trouve
En substituant o, 1 3 , on a
x K = o, 1 292 et y K = 0,0002743.
On trouvera ensuite
III. La troisième racine est comprise entre 0,2 et o,3. Ensuite
x 3 = 0,295 et jr 3 =r — 0,0104236,
x 4 = 0,29708 et ^4 = 0,0000129,
et enfin
